Bonjour,
Je me posais la question de savoir si il existe une formule permettant de connaître la distance d'un point A à un point B en suivant une courbe :
par exemple, calculer la distance de f(-1) à f(1) en suivant la courbe C définie par f(x) = x²
J'avais d'abord pensé à calculer des petites distances que l'on pouvait considérer comme des droites mais il faudrait en faire beaucoup trop pour une bonne précision.
Effectivement il faut décomposer la courbe en petits morceaux et ajouter les diagonales des petits triangles rectangles ainsi créés. C'est très exactement l'objet du calcul intégral créé par Newton entre autres il y a 250 ans mais est-ce que tu connais ?
Ah non pas du tout, j'en suis encore aux débuts de l'équation différentielle
Ça veut dire que je ne peux pas ?
Tu peux le faire numériquement en décomposant l'intervalle[0 ; 1] en n intervalles égaux et pour chaque valeur de x calculer l'hypothénuse du petit triangle rectangle et ajouter.
Essaie pour diverses valeurs de n du genre 100, 500 ou 1000 par programmation et regarde si la valeur de la somme change beaucoup quand n augmente.
Bien entendu tu ne calcules que le tronçon [0 ; 1] et tu multiplies le résultat final par 2.
Je fais comment pour calculer par programmation ?
Excel paraît très bien ou alors un langage de programmation.
Pour répondre à ta question, il existe une formule générale pour connaitre la longueur d'une courbe en 2 points.
où I est l'intervale [-1,1] dans ton exemple. Cette formule ce "démontre" grâce au procédé que tu as intuité.
Bonjour,
Tu souhaites mobiliser toute la puissance de calcul de ton ordinateur pour connaître la mesure de l'hypothénuse de chacun des triangles rectangles infinitésimaux de basepar exemple, calculer la distance de f(-1) à f(1) en suivant la courbe C définie par f(x) = x²
Par exemple,
et prendre
Stocker la valeur
Déterminer les coordonnées du point de départ suivant
Et recommencer le calcul de l'hypothénuse du triangle rectangle infinitésimal de base
Enfin après avoir calculé toutes ces valeurs pour x compis entre -1 et +1, il n'y a plus de soucis: il suffit d'en faire la somme.
C'est plus difficile à écrire tout cela que de créer une feuille Excel
Mais pourquoi faire compliqué quand des outils mathématiques ont été crées pour résoudre simplement ce genre de problème
Voir par exemple cette discussion.
Il est sans doute important et utile de remonter à l'origine des interrogations de l' immortel Archimède artiste ingénieur qui de ton jugement peut priser la valeur ... [et dont] j'aime à faire apprendre ce nombre utile aux sages Pour moi ton problème eut de pareils avantages...
Voir par exemple les animations en cliquant sur "Archimède" ci-dessus.
Cette formule n'est pas correcte (essaye d'imaginer ce que donne ta formule pour une fonction croissante sur l'intervalle à calculer).Envoyé par haciol
Pour répondre à ta question, il existe une formule générale pour connaitre la longueur d'une courbe en 2 points.
La bonne formule est
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Oui, c'est la norme du vecteur vitesse qu'il faut intégrer.
Or ta courbe est la courbe de la fonction
Ainsi la longueur de la courbe du point
J'ai essayé de m'aider de mon livre, mais il n'est question que de calculs d'aires...
Comment dois-je traduire la formule pour la taper à la calculatrice, ou pour en tirer simplement une valeur numérique ?
Ta courbe est celle de la fonction
Dans ce cas la formule est :
(tiens je viens seulement de remarquer que \mapsto n'est pas reconnue sur le forum et remplacée par un \rightarrow).
Bonjour,
Je ne comprends plus rien : si je dérive
j'obtiens bien
Où se situe mon erreur ?
et dx ca veut dire quoi ? :$
BonjourBonjour,
Je ne comprends plus rien : si je dérive
j'obtiens bien
Où se situe mon erreur ?
Je ne vois pas le rapport ? Je n'ai pas intégré
Pour ce qui du(En fait la signification est plus profonde, mais inutile de l'expliquer ici).
Bonjour,
Merci Theyggdrazil.
Bonjour,
Je suis surpris que personne ne se soit amusé [
L'intégration par parties ne vous convient pas?
Bref, la fonction est paire (symétrique par rapport à l'axe des Y, car f(-x) = f(x)) et nous pouvons nous simplifier la vie en calculant la longueur de la courbe y = x² seulement entre 0 et 1
Je ne vous fait pas languir davantage et, sauf erreur, L = 1,48 {choisir la bonne unité}.
Donc, pour répondre au message initial de Texanito:
qui est une fonction définie et continue, alors D = 2*L = 2,96Calculer la distance de f(-1) à f(1) en suivant la courbe C définie par f(x) = x²
Avec un pas dx= 0,1 et grace au théorème de Pythagore pour calculer toutes les "mini-hypothénuses" évoquées plus haut, nous trouvons [voir l'image ... dès qu'elle sera validée]
Bonsoir!
Désolé de faire remonter ce vieux sujet mais j'ai enfin commencé les intégrales et je sais maintenant comment calculer une intégrale à l'aide des primitives d'une fonction.
J'ai essayé de l'appliquer aux post précédents mais je n'y arrive pas : comment trouver une primitive de (1+4x²)^(1/2) ?
Et pour ce qui est de l'intégration par parties je ne vois pas quelles fonctions u et v prendre.
Une méthode assez classique en intégration par parties est de considérer que la fonction u'=1 qui s'intègre en x
En faisant ça on fait apparaitre x.((1+4x²)^1/2) intégrale de 1/((1+4x²)^1/2) ... une petite astuce de calcul à faire intervenir à ce niveau...
Puis cette dernière integrale qui est une classique s'intègre en argch(x) aux constantes multiplicatives près
Mais je devrais toujours trouver une primitive de (1+4x²)^(1/2) pour calculer mes intégrales
Oui c'est là qu'il y a une astuce de calcul...il faut le passer de l'autre côté
Une méthode pour calculer ton intégrale : pose 4x²=sinh(u), en utilisant l'identité ch²+sh²=1, et en connaissant tes formules de trigo hyperbolique cela vient tout seul
A l'époque où j'ai posé cette question je ne savais pas ce qu'était un sinus hyperbolique ou un cosinus hyperbolique et je venais tout juste de découvrir l'exponentielle
J'y ai repensé il y a pas longtemps et j'ai remplacé la racine par sa forme exponentielle sauf que je suis arrivé à un truc bizarre.
Posons
Alors on a
Or une primitive de
Si on pose
Alors
Donc
En remplaçant u(x) par sa valeur on obtient
Le problème c'est que j'aurai une limite infinie pour
Ceci est incorrect (sauf si h'(x) est une constante)Or une primitive de
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Ah oui quel c**
Et sinon quelqu'un peut m'expliquer la méthode d'ericcc ?
Je n'ai pas vraiment travaillé sur les sh et ch et je ne vois pas comment utiliser ces foctions pour le calcul d'intégrale
salut, eric te propose un changement de variable, je ne sais pas si tu as déjà vu ca.
http://fr.wikipedia.org/wiki/Int%C3%...nt_de_variable
pour ce qui est des fonctions ch et sh, elles marchent un peu comme le cosinus et le sinus mais les formules sont légèrements différentes (les signes changent a chaque fois)
http://fr.wikipedia.org/wiki/Fonction_hyperbolique
Voir ici : http://serge.mehl.free.fr/anx/long_arc.html les détails du calcul
