Jeux de hasard et probabilités

[inviteef0be89f]

Bonjour à tous, un sujet souvent traité mais dont j'oublie régulièrement la réponse:
Notre loto national consiste à deviner 6 numéros tirés au hasard sur une liste proposée de 49.
1/ On a une chance sur combien de faire le bon choix ?
2/ Donc logiquement pour qu'il y ait un gagnant certain, il faudrait qu'il y ait autant de propositions différentes (grilles validées) que de combinaisons possibles.
3/ Si (comme probable) le nombre de mauvaises réponses possibles dépasse le nombre de participants, comment peut-il y avoir à tous les coups (ou presque) un ou plusieurs gagnants ?
Il n'y a pas urgence (je ne joue à rien) c'est juste pour satisfaire la curiosité d'un ami.
Merci...
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[Jean_Luc]

Bonsoir,

Si je me rappelle bien: (ce qui est loin d'être sûr)

1)

2) Non, la proba pour qu'il n'y ait aucun gagnant sur 13983816 grilles et de (1-p)^13983816 = 36%

3) parce qu'il y a des millions de joueurs

[Jean_Luc]

Il faut également considérer les grilles multiples (je ne sais pas si ça existe encore, je ne joue pas) ou l'on peut jouer plus de 6 numéros en payant plus cher. Ce qui change le calcul de proba.

[inviteef0be89f]

Ok, merci pour la réponse, je vais la noter dans un coin cette fois.
Par contre pour le 2/ ce que je n'arrivais pas à expliquer, parce que déjà confus pour moi, c'est comment quelques millions de joueurs pouvaient couvrir la totalité de dizaines de millions de possibilités potentielles. Mais effectivement, s'il y a "seulement" 14 millions de ces possibilités, le nombre de joueurs devient alors suffisant. (je parlais de grilles simples et non multiples pour ne pas trop compliquer) Merci encore.

[A voir en vidéo sur Futura]

[NicoEnac]

Pour le 2) je suis d'accord avec GEJI et pas avec Jean_Luc : si on veut être sûr qu'il y ait un gagnant, il "suffirait" que 14 millions de participants se mettent d'accord pour chacun avoir une grille différente, couvrant toutes les possibilités.

Le raisonnement de Jean_Luc serait juste pour un tirage de Bernouilli : un événement a deux possibilités : arriver (proba p) ou....ne pas arriver (proba 1-p). On effectue le tirage 14 millions de fois. Voilà ce que signifie ta formule. Or ce n'est pas le procédé du Loto.

Pourquoi y a-t-il presque toujours un gagnant ? Eh bien je ne connais pas les chiffres mais je dirais qu'environ 10 millions de français jouent au Loto, jouant pour certains plusieurs grilles (au total à la louche, on doit avoir 17-20 millions de grille à chaque tirage). A cela il faut retrancher les répétitions : certaines sont jouées par des personnes différentes (on connait bien le truc de jouer sa date de naissance, sa pointure, etc.... ça biaise les grilles et certains chiffres sont donc plus joués). Donc en gros, au pif même, je dirai que 5 millions de grilles sont jouées à chaque fois ce qui fait 33% de chance qu'il y ait un gagnant environ. Le hasard fait le reste.

De plus, on entend souvent qu'il y a des gagnants à 5 ou 4 chiffres. Ca c'est normal vu que les proba d'avoir 5 ou 4 bons chiffres sont plus élevées

Voilà !

[God's Breath]

Le raisonnement de Jean_Luc serait juste pour un tirage de Bernouilli

On est bien dans un tirage de Bernouilli : chaque joueur fait une grille avec la très faible probabilité de gagner.
Lorsque joueurs font chacun une grille, indépendamment les uns des autres, la probabilité qu'ils perdent tous est .
La probabilité qu'il y ait au moins un gagnant parmi joueurs indépendants est donc , probabilité qui est loin d'être négligeable vu l'ordre de grandeur de N, de l'ordre de 51% pour 10 millions de joueurs.

[NicoEnac]

Je suis d'accord mais ce n'était pas la question 2).

C'était : "2/ Donc logiquement pour qu'il y ait un gagnant certain, il faudrait qu'il y ait autant de propositions différentes (grilles validées) que de combinaisons possibles." Et la réponse est oui. Sinon je suis d'accord avec Jean_Luc et avec God's Breath : dans le cas d'un remplissage INDEPENDANT, il s'agit bien de cette probabilité ! Or ce que j'ai compris dans la question dans le terme "différentes", c'est bien qu'on ne compte une grille que si elle n'est pas semblable à une autre.

Vous comprenez ce que je veux dire ?

[NicoEnac]

En y réfléchissant j'ai peut-être mal compris donc pardon d'avoir donné tord à Jean_Luc, son calcul est correct pour des remplissages indépendants. C'est ce que j'avais cru comprendre avec l'énoncé

[God's Breath]

Je suis d'accord mais ce n'était pas la question 2).

C'était : "2/ Donc logiquement pour qu'il y ait un gagnant certain, il faudrait qu'il y ait autant de propositions différentes (grilles validées) que de combinaisons possibles." Et la réponse est oui.

LOGIQUEMENT, la seule affirmation possible est :

«Donc logiquement pour qu'il y ait un gagnant certain, il suffirait qu'il y ait autant de propositions différentes (grilles validées) que de combinaisons possibles.»

La bonne vieille confusion entre condition nécessaire et condition suffisante :
– Papa!, je sors ce soir, i'm'faut 50€.
– Il te faut 50€, ou 50€ te suffiront ?

[NicoEnac]

N'est ce pas nécessaire ET suffisant ?

Un gagnant certain (autrement dit on est sûr avant le tirage qu'il y aura un gagnant) <=> autant de propositions différentes que de combinaisons possibles (autrement dit toutes les combinaisons ont été jouées) ?

[God's Breath]

Pour le 2) je suis d'accord avec GEJI et pas avec Jean_Luc : si on veut être sûr qu'il y ait un gagnant, il "suffirait" que 14 millions de participants se mettent d'accord pour chacun avoir une grille différente, couvrant toutes les possibilités.

Ce n'est pas moi qui l'ai dit.

[NicoEnac]

Ce n'est pas moi qui l'ai dit.

D'accord. Mais vu que c'est équivalent.... Bref pour répondre à la question 2), si les gens remplissent indépendamment, on n'est pas sûr d'avoir un gagnant (cf. calcul de Jean_Luc et God's Breath). Si les gens se concertent (remplissage non indépendant), oui c'est sûr qu'il y aura un gagnant.

Désolé God's Breath si j'ai mal compris, je pense que ça peut arriver surtout que j'ai reconnu que votre point de vue était juste selon la façon dont on comprenait la question.

[inviteef0be89f]

Ca se complique un peu pour un "non matheux". Je simplifie donc ma pensée d'origine: pour qu'il y ait un gagnant certain il faudrait que les participants s'entendent pour jouer chacun une ou plusieurs des quatorze millions de combinaisons possibles. Exactement comme dans une loterie simple, lorsque la totalité des billets sont vendus il y aura forcément un gagnant.
Mais là, il semble donc que la totalité des combinaisons n'étant pas couverte, il reste, comme le disait Jean-Luc 33% de chances de ne pas avoir de gagnant.
Pour le gagnant il y a donc un double hasard:
1/ Que le tirage ne tombe pas sur l'une des 33% de grilles non jouées
2/ Que sa propre grille soit choisie.
Je pense que les mathématiciens qui ont mis la chose au point en maîtrisent toutes les subtilités et ont réponse à tout, mais il était quand même plus facile de mettre la question sur le Forum que de les joindre. A moins que l'un d'entre eux nous lise, on ne sait jamais...

[inviteef0be89f]

Petit rajout: Jean-Luc donne 36% de chances de ne pas avoir de gagnants et NicoEnac au contraire 33% de chances d'avoir un gagnant. Je ne sais qui a raison mais merci de rectifier mes chiffres en conséquence, selon que vous donniez raison à l'un ou à l'autre. En tout cas merci à tous.

[NicoEnac]

Jean_Luc donne 36% de chances de n'avoir aucun gagnant si les gens ne s'entendent pas avant de remplir les grilles. Je donne 33% c'est un chiffre "à la louche" disons basé sur des approximations que je donne. Donc si on doit retenir un chiffre basé sur un vrai calcul scientifique, c'est celui de Jean_Luc.

Par contre je maintiens que si les gens s'entendent pour que toutes les grilles possibles soient jouées (les 14 millions de combinaisons possibles), il est sûr et certain qu'il y ait un gagnant à l'issue du tirage.

Les gens qui ont crée cette loterie ont tout simplement pensé à ce cas et adapté le prix de la grille en conséquence. Pour simplifier, si 14 millions de joueurs jouent chacun une grille différente, ils auront rapporté 14 millions x (5 euros par grille) = 70 millions d'€ à la FDJ. Sachant qu'elle promet un gros lot à 10 millions d'€, on voit qu'elle est toujours gagnante.

[inviteef0be89f]

ce qui fait 33% de chance qu'il y ait un gagnant environ.

Je ne discutais pas les 3%, mais sur le coup je ne comprenais pas que tu donnes 33% POUR un gagnant alors que Jean-Luc donnait 36% CONTRE un gagnant. (ce qui est tout à fait contraire)
Mais là j'ai compris qu'il s'agit d'une simple erreur de rédaction.