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Géometrie dans l'espace



  1. #1
    tony90

    Géometrie dans l'espace


    ------

    Bonjour,
    Alors voila je bloque sur une question de mon DM!
    La voici:
    Déterminer les équations (dans un repère orthonormal) de la projection orthogonale de la droite D: 5x-4y-2z-5=0
    x+2z-2=0
    Sur le plan: P:2x-y+z-1=0

    Alors j'ai paramétré cette droite ce qui me donne:


    Mais je ne sais pas quoi faire après...
    Merci d'avance!

    -----

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  3. #2
    NicoEnac

    Re : Géometrie dans l'espace

    Bonjour,

    Le plan P admet (2;-1;1) comme vecteur normal. Que penses-tu de la relation entre ce vecteur et le vecteur de la droite projetée ? Fais un dessin si tu ne visualises pas bien.
    "Quand les gens sont de mon avis, il me semble que je dois avoir tort."O.Wilde

  4. #3
    tony90

    Re : Géometrie dans l'espace

    Et bien ils sont orthogonaux.

  5. #4
    NicoEnac

    Re : Géometrie dans l'espace

    Désolé pour le temps de réponse.

    En effet, ils sont orthogonaux ! Donc ça veut dire que le produit scalaire est nul. Et comment obtenir ce vecteur directeur ? Tout simplement en prenant u (vecteur directeur de la droite) et en lui retranchant son projeté sur le vecteur normal au plan :

    u' = u-(u.n)/norme(n)² *n où u' est le vecteur directeur de la droite projetée, u le vecteur directeur de la droite, n le vecteur normal au plan. Tu peux essayer ensuite de voir s'ils sont orthogonaux :
    u'.n = (u-(u.n)/norme(n)² *n).n = u.n-(u.n)/norme(n)² *n.n = u.n - (u.n)/norme(n)²*norme(n)² = 0
    "Quand les gens sont de mon avis, il me semble que je dois avoir tort."O.Wilde

  6. #5
    tony90

    Re : Géometrie dans l'espace

    Merci pour ta réponse alors par contre je n'arrive pas a voir comment tu trouves qu'il faut retrancher son projeté...

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    tony90

    Re : Géometrie dans l'espace

    En effet je suis d'accord avec la formule que j'ai vu dans le cours pour l'expression du projeté du vecteur u mais je n'arrive toujours pas à comprendre la soustraction que tu effectues...pourquoi prendre le projeté sur le vecteur normal du plan...?

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  10. #7
    NicoEnac

    Re : Géometrie dans l'espace

    Si dans l'espace (avec une base (0,i,j,k) ) tu voulais projeter un vecteur u(a,b,c) dans le plan (0,x,y), comment ferais-tu ? tu prendrais u'(a,b,0) et pourquoi ? Tu as simplement enlevé à u, son projeté sur le vecteur normal au plan (0,x,y) qui est en fait k.
    => u-(u.k)*k/norme(k)² = (a,b,c)-(c)*(0,0,1) = (a,b,0).

    Le cas de ton exercice est juste un cas plus général avec un plan quelconque dans l'espace mais le raisonnement est le même. As-tu compris ?

    P.S:je ne pourrai sans doute pas répondre avant ce soir mais je te promets de revenir t'expliquer si besoin est
    "Quand les gens sont de mon avis, il me semble que je dois avoir tort."O.Wilde

  11. #8
    tony90

    Re : Géometrie dans l'espace

    D'accord je vois ce que tu veux dire!et donc il faut dans mon exercice assimilé le plan de l'exercice au plan (0,x,y)(si on peut dire ca comme ca)

    Maintenant ce serait par rapport à la rédaction...comment est ce que je pourrais l'expliquer clairement?

  12. #9
    NicoEnac

    Re : Géometrie dans l'espace

    Heu côté rédaction, je ne vois pas directement comment rédiger ça.

    Je réfléchis à ça...Sinon tu as compris le principe ? Une fois que tu as calculé le projeté du vecteur directeur de la droite, tu calcules le projeté d'un point de la droite et à partir de là tu peux facilement paramétrer le projeté de la droite.
    "Quand les gens sont de mon avis, il me semble que je dois avoir tort."O.Wilde

  13. #10
    tony90

    Re : Géometrie dans l'espace

    Okay c'est bon j'ai compris!!Merci beaucoup de ton aide.Donc si jamais tu vois une façon particulière de rédiger dis moi!!Je vais essayer de me débrouiller sinon...le principal c'etait que je comprenne ca...

  14. #11
    NicoEnac

    Re : Géometrie dans l'espace

    Oui c'est le principal.
    "Quand les gens sont de mon avis, il me semble que je dois avoir tort."O.Wilde

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