Quelques questions sur les matrices stochastiques

[invite1e5c24bd]

Bonjour à tous,

J'ai à traiter un problème sur les matrices stochastiques mais j'aurais besoin de vos conseils pour certaines questions.

En particulier celle-ci :

On identifie C au plan affine euclidien muni d'un RON.
Soit A matrice stochastique telle que les aii soient non nuls.
Soit delta = Min(aii, i compris entre 1 et n)

On me demande de montrer que les valeurs propres réelles ou complexes de A sont situées dans le disque dont le centre a pour affixe delta et tangent au cercle unité au point d'affixe 1.

Pourriez-vous me donner quelques pistes pour bien commencer ? J'ai du mal à trouver un point de départ.

Merci à vous,
Cordialement,
H.Poincaré
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[invite57a1e779]

Soit une valeur propre de (réelle ou complexe), un vecteur propre associé, , tel que .

Tu écris que et tu regardes ce qui se passe dans l'équation n° , en te souvenant que .

[invite1e5c24bd]

Soit une valeur propre de (réelle ou complexe), un vecteur propre associé, , tel que .

Tu écris que et tu regardes ce qui se passe dans l'équation n° , en te souvenant que .

Je suppose que tu voulais dire non ? (comme c'est un min).

Mais si je saisi bien la question, je dois montrer que

C'est à ça que je dois aboutir à partir de l'équation que tu m'as conseillé d'écrire ?

Au fait j'ai montré dans une question précédente que , ça peut peut-être servir ?

[invite57a1e779]

Je suppose que tu voulais dire non ? (comme c'est un min).

Oui

Mais si je saisi bien la question, je dois montrer que

C'est à ça que je dois aboutir à partir de l'équation que tu m'as conseillé d'écrire ?

Oui

Au fait j'ai montré dans une question précédente que , ça peut peut-être servir ?

Je ne pense pas, mais je n'en suis pas vraiment certain. Il faut voir le détail des calculs.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite1e5c24bd]

Tu écris que et tu regardes ce qui se passe dans l'équation n° ,

En fait j'avais déjà procédé ainsi pour montrer que toute valeur propre était inférieur à 1 (dans un cas général où il n'est pas précisé que les aii sont tous non nuls). Mais je retombe à chaque fois sur ce résultat en écrivant cette équation et pas sur le résultat que je cherche à trouver à présent... Je crois qu'il y a quelque chose que je n'exploite pas ...

Je vais poursuivre,
Merci en tout cas pour tes premiers conseils.

[invite57a1e779]

Quelle sont les valeurs propres de la matrice ? de la matrice ?