Z/pZ corps <==> p un nomre premier

[invite770b3cad]

on supose que Z/pZ un anneau commutatif
il s'agit de montrer l'équivalence: Z/pZ corps <==> p premier
j'ai une idée
montrons ce sens =>]
par contraposé( si on arrive à monter que si p est non premier alors Z/pZ n'est pas un corps sera fini pr ce sens la) si p et non premier alors il existe p1 <> 1,p tel que p=q.p1 ( 0<p1<p) *
q est non null si nn p=0( on verra l'interet de cett remarque...)
(p1)" appartien à {2",3",...,(p-1)"} ( " signifie classe d'un élémen)
il suffit de montrer que p1 n'admet pas d'inverse pour dire que Z/pZ n'est pas un corps
par l'absurde
si il existe x" inverse de p1" alors (p1)".x"=1"
d'après * p"=0"=(q.p1)"=q".p1"
on multipli par x" à droite on aurra 0".x"=0"=(q".p1" ).x"=q".(p1" .x")=q".1"=q" ==> q"=0"
donc q= kp et puisk q et forcemen < p donc q"=0" ==> q=0 absurde
d'ou p1 est non inversible d'ou Z/pZ n'est pas un corps
j'attends avec plaisir votre reaction
et aussi il faut montrer l'autre sens
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[invite986312212]

salut,

j'ai pas suivi tous les détails mais en gros l'idée est bien celle-là. En général on introduit la notion d'anneau intègre et on montre qu'un corps est nécessairement un anneau intègre. Pour l'implication réciproque, il faut prouver que l'équation en r : q*r=1[p] où q<>0 est donné a toujours une solution.

[invite770b3cad]

salut
oui vous avez raison un corp est un anneau integre mais svp est ce que ça implique que p est premier je vois pas bien l'implication
et pour l'autre sens oui si on arrive à monter que l'équation a tjrs une soulution sa signifie ke tt élémen de Z/pZ est inversible d'ou le résultat
merci bcp ambrosio

[invite986312212]

une façon de faire est d'étudier l'application x -> qx [p] , q non nul étant fixé.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite770b3cad]

dsl j'ai pa compris votr idée

[invite57a1e779]

Je pense que l'idée est de montrer que l'application proposée par ambrosio est injective, donc surjective car on travaille sur un ensemble fini.