Pavage apériodique

[NicoEnac]

Bonjour,

Je me suis intéressé aux pavages récemment et pour un projet je dois construire à partir d'une trame de référence (je l'ai déjà construite) plusieurs motifs (ça aussi c'est fait) servant de base à un pavage apériodique.

Instinctivement je pense comprendre ce qu'est un pavage apériodique. Ma question est toute simple : le pavage de Truchet est-il apériodique ?

Petit lien pour ceux qui voudraient savoir ce que c'est :
http://pagesperso-orange.fr/jean-pau...het/index.html
ou
http://pagesperso-orange.fr/jean-pau...chet/truc.html

Merci d'avance
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[invité576543]

Instinctivement je pense comprendre ce qu'est un pavage apériodique. Ma question est toute simple : le pavage de Truchet est-il apériodique ?

La méthode détermine tout une collection de pavages. Dans le tas il y en a des périodiques, les autres (l'écrasante majorité) sont apériodiques. Ceux fait "au hasard" sont a priori apériodiques.

Ceci dit je ne comprends pas trop la question : si la notion de pavage est claire, et la notion de "périodique" (invariance par au moins une translation, par exemple), la notion de apériodique c'est juste de ne pas être périodique!

Cordialement,

[invité576543]

Un petit point oublié : on voit souvent le mot "apériodique" utilisé pour "quasi-périodique", comme le pavage de Penrose. Ce sont des notions différentes : les pavages "quasi-périodiques" sont apériodiques, mais avec des propriétés particulières les rapprochant des périodiques.

Un pavage de Truchet fait "au hasard" n'est pas quasi-périodique, à ce que j'en comprends.

Cordialement,

[NicoEnac]

Merci pour la réponse.

Disons que pour mon projet, j'ai crée 4 motifs et je les ai disposés les uns à côté des autres de manière aléatoire grâce à un algo tout simple sur ordi. Ceci est selon moi un pavage apériodique.

De plus, je n'ai pas bien saisi le dernier message, la distinction entre quasi-périodique et apériodique.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invité576543]

De plus, je n'ai pas bien saisi le dernier message, la distinction entre quasi-périodique et apériodique.

J'ai juste noté cela parce que certains liens sur les pages que tu as mises en référence parlent de pavages quasi-périodiques en utilisant le mot "apériodique" (genre "introduction to quasi-crystals").

Si tu commences à aborder le domaine des pavages, c'est trop tôt pour les quasi-périodiques.

Cordialement,

[NicoEnac]

Je pense que je peux assimiler ce que signifient ces termes

En comparaison à un signal s(t) :
s(t) = cos(t) est périodique
s(t) = e(-t) est apériodique
Je connais ensuite le terme de pseudo périodique pour s(t) mais je ne pense pas que ça s'applique ici.
s(t) = cos(t)x e(-0.05t)) par exemple est un signal pseudo périodique

[invité576543]

Je pense que je peux assimiler ce que signifient ces termes

En comparaison à un signal s(t) :
s(t) = cos(t) est périodique
s(t) = e(-t) est apériodique

Tu décris la base des "pavages" en 1D !

Les pavages usuels sont en 2D, et généralisent l'idée. On peut voir par exemple le signal s(x,y) = cos(x)cos(y) comme un pavage périodique (pavage carré, il y en a d'autres).

Je connais ensuite le terme de pseudo périodique pour s(t) mais je ne pense pas que ça s'applique ici.
s(t) = cos(t)x e(-0.05t)) par exemple est un signal pseudo périodique

Non. Un signal correspondant à un pavage pseudo-périodique en 1D serait frac(ax), avec frac() la partie fractionnaire et a un nombre irrationnel. (Si a est rationnel, le signal est périodique.)

Cordialement,

[NicoEnac]

D'accord ! Je crois que j'ai compris !

Je parle en terme de signaux car j'ai une formation en traitement du signal, traitement d'images, etc... et ça ma parle plus. Jusqu'à hier, les pavages étaient pour moi assez simples et je ne pensais pas qu'il y avait tant de théorie derrière !

Donc frac(ax) avec a irrationnel serait quasi-périodique c'est ça ?
Et ma méthode de pavage (algo générant une grille aléatoire de motifs) donne-t-elle un pavage apériodique ?

Si j'ai tout compris, les deux réponses sont oui.

[invité576543]

Donc frac(ax) avec a irrationnel serait quasi-périodique c'est ça ?

J'ai écrit cela de mémoire, j'ai un doute maintenant. Mais on fabrique un pavage quasi-périodique à partir d'un irrationel et de la partie entière, ça j'en suis sûr.

Faut que je vérifie et/ou retrouver la formule correcte.

Cordialement,

[invité576543]

Je ne retrouve pas ce que je voulais...

Autre essai (pareil, de mémoire) : cos(x) + cos(ax), avec a irrationnel : le signal n'est pas périodique (pas de multiple entier de a, par hypothèse), mais il présente une structure particulière, qui correspond à la notion de quasi-périodique.

Cordialement,

[NicoEnac]

Merci beaucoup pour ces éclaircissements !

Et concernant ma méthode de pavage ? Est-ce apériodique ?

[invité576543]

Et concernant ma méthode de pavage ? Est-ce apériodique ?

Truchet?

A partir du moment où le choix est "au hasard" c'est apériodique (pas de période), et ce n'est pas quasi-périodique.

L'équivalent en 1D serait de prendre une succession de segments de longueur 1 ou 2, en choisissant à chaque fois la longueur au hasard. (On en fait un signal en "colorant" alternativement les segments par 1 et -1 par exemple.)

Cordialement,

[NicoEnac]

D'accord ! Merci beaucoup !

[invité576543]

Avec un peu de chance ça doit être ça que je cherchais : frac(ax)-a frac(x)

C'est borné et ce n'est pas périodique pour a irrationel, mais c'est quasi-périodique.

Cordialement,