SUP bjection réciproque

[invite680c2259]

bonsoir, je ne suis pas certain d'un résultat :

Soit g une application bijective et

(g o g)(x) = 2g(x) - x

déterminer (g^-1 o g^-1)

(g o g)^-1 = (2g(x) - x)^-1
donc (g^-1 o g^-1) = 2g^-1(x) -x

est-ce bon ?
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[invite57a1e779]

Bonjour,

(g o g)^-1 = (2g(x) - x)^-1

Tu écris n'importe quoi : le premier membre de ton égalité est une application, le second membre un réel, et encore faut-il que soit non nul pour pouvoir l'élever à la puissance négative .

[invite680c2259]

oui je m'en doutais un peu, mais comment faire ?

[invite36c8b572]

en fait (gog)^-1=(g^-1) o (g^-1)

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec317278e]

Tu peux par exemple chercher à calculer en cherchant une fonction telle que

[invite57a1e779]

oui je m'en doutais un peu, mais comment faire ?

Je ne sais pas, mais je commencerais par écrire que, pour tout , on a , donc, en posant d'où , on a, pour tout : , c'est-à-dire .
Sous cette dernière forme, on a une relation symétrique en et ; comme elle provient d'une relation sur , elle doit pouvoir donner une relation sur ...

[invite680c2259]

oui mais on a pas g(x)

[invite680c2259]

merci j'ai avancé de beaucoup de question
merci

[inviteaf1870ed]

Voici une proposition :

On calcule gogog(x)=gog(g(x))=2g(g(x))-g(x)=4g(x)-3g(x)
On montre ensuite par récurrence rapide que
g⁽ⁿ⁾(x)=ng(x)-(n-1)x

Là on fait un saut dans l'inconnu en essayant d'étendre cette relation à des valeurs négatives de n. On essaye donc n=-1...
...et on définit f(x)=-g(x)+2x.

Miracle ! f(g(x))=x, donc f=g^-1

[invite57a1e779]

pour tout , on a , donc, en posant d'où , on a, pour tout : , c'est-à-dire .

Que , on le savait déjà.

Ce qui est curieux c'est qu'il est demandé de déterminer , mais pas de déterminer , ou alors Jarod_ nous cache une question intermédiaire fort importante.

[inviteaf1870ed]

Oui bien entendu, mais je proposais une autre piste pour aboutir à ce résultat. Parfois on prend des chemins de traverse...et en passant on trouve une relation sur les g⁽ⁿ⁾