[sup] DM sur la trigo

[inviteb086628f]

alors voila je suis bloqué ...donc si vous pouviez m'aider^^

1.Montrer que l'équation tan x=x possede une unique solution dans l'intervalle ]-pi/2+npi,pi/2+npi[ on note xn cette solution

pour celle la j'ia dit que tan est pi périodique que la derivé est strictement croissante donc que la fonction n'admet qu'un seul antecedent sur ]-pi/2+ni,pi/2+npi[
mais je en sais pas si on peut expliquer comme ça...

2. Prouver qu'au voisinage de l'infini xn equivaut a npi

donc la j'ai bien trouver

3. on pose vn=xn-npi-pi/2
prouver que lim(quand n->+infini) vn=0 puis que vn=g^-1(an) ou:
g:t appartient ]-pi/2,pi/2[->g(t)=tan t /(1+t*tant t)
an appartient a R

et c'ets la que commence les difficultées en effet en + infini je remplace xn par npi mais du coup vn tend vers pi/2...
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[NicoEnac]

la derivé est strictement croissante

Je suppose que tu voulais dire "strictement positive".

De plus, je pense que pour être totalement cohérent il faudrait dériver f (x)=tan(x)-x, dire que la dérivée est strictement positive sur l'intervalle donc que f est croissante sur ce même intervalle. De plus elle est continue et lim(borne inférieure de l'intervalle) négative, lim(borne supérieure) positive. Ainsi d'après le Théorème des Valeurs Intermédiaires, elle admet une seule solution pour f(x)=0.

[inviteaf1870ed]

Tu as une équivalence, c'est à dire que lim (Xn/npi)=1, mais la différence Xn-npi peut prendre une autre valeur.

Par exemple X et X+1 sont équivalents à l'infini, mais leur différence est constante.
Pire : X²+X et X² sont également équivalents, mais leur différence tend vers l'infini...

[inviteb086628f]

oui je voulais dire strictement positive erreur de lecture de mes notes^^

ouai mais justement je vois pas comment chercher la limite en +infini...
npi tends vers 0 ? et xn vers +infini ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[NicoEnac]

As-tu modifié pour l'étude de la dérivée ? C'est bien tan(x) - x qu'il faut dériver et pas seulement tan(x) car nous n'avons pas tan(x) = constante ! C'est important car ton raisonnement est faux sinon.

[inviteb086628f]

euh ouai je 'lai fait donc ma dérivée est (1-cos²x)/cos²x donc on a bien la dérivée postive
pour la limite sur les bornes c'est en -pi/2 et pi/2 ?

[inviteaf1870ed]

Regarde ce que vaut tan(Vn)...et dans quel intervalle est compris Xn-npi-pi/2

[NicoEnac]

Oui si on prend n=0. Il vaudrait mieux calculer ça en -pi/2+n.pi et pi/2+n.pi ce qui revient quasiment à la même chose.

[inviteb086628f]

Oui si on prend n=0. Il vaudrait mieux calculer ça en -pi/2+n.pi et pi/2+n.pi ce qui revient quasiment à la même chose.

ben euh justement je sais pas trouver cette limite (honte sur moi...)

[NicoEnac]

Avec n fixé, que vaut ? pour ça pas de problème

et ?
Et donc la somme ?

Idem en pi/2+n.pi.

[inviteb086628f]

ben ça fait -infini pour le premier et +infini pour le deuxieme?

[inviteaf1870ed]

Oui, et comme ta fonction est croissante, tu as résolu ta question 1/ proprement.
Pour ta question 3/ regarde ce que vaut tan(Vn) ?

[inviteb086628f]

oua ben c'ets la ou ça devient dur^^
ça fait tan (xn-(2npi-pi)/2) donc j'ia dit que c'était de la forme tan (a-b) (je sais pas si je peux) et j'obtient (tanxn-tan(2npi-pi)/2)/(1+tanxntan((2npi-pi)/2)
c'ets comme ça qu'il faut partir? puis ensuite dire que tan (2npi-pi)/2 c'est tan (a-b) et refactoriser?
dansc ce cas je trouve tan vn= (tan xn+tanxntan(npi)tanpi/2-tan(npi)+tan pi/2)/(1+tan(npi)tanpi/2+tan xntan npi-tan pi/2

mais bon je pense que c'ets pas comme ça qui faut developpé^^

[inviteb086628f]

ya quelqu"un?^^

[inviteb086628f]

dsl pour le triple post mais on peut dire que
si n tend vers l'infini xn tend vers l'infini donc tan tend vers l'infini
si tan tend vers l'infini tan tend vers +pi/2 + n*pi
dc xn=+ pi/2 + n pi donc vn=0 au voisinage de l'infini ?

[inviteaf1870ed]

Quelle est la périodicité de la tangente ?