Accroissements finis

[invite99706724]

Bonjour à tous,
je suis nouveau ici!!
J'ai un petit problème de maths à vous soumettre...

J'ai une suite :
Un= 1+1/1!+1/2!+.....+1/n! et je dois montrer que sa limite est e.
L'indication qui m'est donnée est que je dois appliquer le th. des accroissement finis sur [0;1] à la fonction f(x)=(1/exp(x))(1+x/1!+x²/2!+.....+(x^n)/n!)

Le hic c'est qu eje ne connais pas le théorème des accroissements finis le prof ne nous l'a pas (encore je l'espère rappelé) et j'ai un peu cherché sur internet et je ne vois absolument pas comment faire dans ma situation.....

Merci d'avance de votre aide future
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[Flyingsquirrel]

Salut,

Le théorème des accroissements finis permet d'affirmer que comme est dérivable sur , il existe un point tel que .

Il faut ensuite exprimer en fonction de et de , exprimer en fonction de et voir ce que l'on peut tirer de tout ça...

[invite99706724]

Ah oui d'accord je crois que je vois!!
En fait je dis que ma fonction est continue et dérivable sur [0;1] comme somme et produit de fonctions continues et dérivables sur [0;1]. Donc je peux appliquer le théorème des accroissements finis...
f'(c)=(f(1)-f(0))/(1-0) donc f'(c)=f(1)-f(0)=(1/e)(1+1/1!+...+1/n!)-1=(1/e)xUn-1 (j'ai le droit de dire cela??????)
Comment exprime cette expression en fonction de c et n??
maintenant j'exprime f(1)=(1/e)x(Un) ( si j'ai le droit d'écrire cela bien sur) et euh maintenant je peux faire hum... j'essaie de puis tout a lheure ... alors je me permets de te(à tout le monde d'ailleurs) redemander un peu d'aide!!!

Merci d'avance
f'(c)-f(1)=1... Euh je ne vois plus bien quoi faire là...

[invite57a1e779]

Combien vaut ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite99706724]

hum je pense que
f'(c) = -(1/exp(c))(1+c/1!+c²/2!+...+(c^n)/n!)+(1/exp(c))(1+c/1!+...+(c^(n-1))/(n-1)!)
C'est ca si je ne me trompe pas et j'en fais quoi après...???

Merci d'avance de ton aiide

[invite57a1e779]

Tu le simplifies... parce que dans l'état actuel, c'est trop laid... alors il faut un petit lifting pour éliminer tout le superflu.

[invitec317278e]

c'est bien, mais il faut aller plus loin !
factorise par , pour voir apparaître des choses plaisantes !


Edit : Grillé...encore !

[invite99706724]

d'accord donc je me lance alors ^^
ha je vois apparaitre des trucs sympas en effet je vous montre :
f'(c)=(1/exp(c))(1+c/1!+...+(c^(n-1))/(n-1)! - 1-c/1!-...-(c^n)/n!)
ce qui nous donne joliment
f'(c)=(1/exp(c))(-(c^n)/n!)
c'est bien cela ?

ensuit eje ne vous pas comment tout ramener ensemble ... ?

merci d'avance de votre aide!!

[invitec317278e]

Et bien ceci est aussi égal à f(1)-f(0) ! En constatant de plus que la suite (car le c dépend de n) est bornée, tu vas pouvoir...

[invite57a1e779]

En résumant la situation, et en l'écrivant clairement pour me donner des idées, on a pour l'instant : , c'est-à-dire .

Il suffit d'en déduire un encadrement de , suffisamment fin pour conclure quant à la limite.

[invite99706724]

la suite C indice n ???d'ou vient cette suite ???

j'obtiens donc -(c^n)/(exp(c))n!)=(1/e)Un -1... et du coup je peux passé des trucs de l'autre coté et j'ai donc (1/e)Un=1-(c^n)/(exp(c))n!)
je multiplie par e et donc j'ai Un= e - e((c^n)/(exp(c))n!)
et là j'aimerais dire que le deuxieme bout dans vers 0 mais .... je coince ...

[invitec317278e]

Soit, n'introduisons pas de nouvelle suite si ça te perturbe.

Essaie d'encadrer en commençant par dire que

[invite57a1e779]

Il serait peut-être utile de se servir du fait que est compris entre 0 et 1...

La remarque de Thorin est très judicieuse, mais tu n'es pas obligé d'en tenir compte. Elle ne prend toute sa valeur que si tu étais amené à utiliser plusieurs valeurs de pour des valeurs de distinctes, et il faudrait, à ce moment là introduire une notation pour , puisque la fonction aussi dépend de .

[invite99706724]

je vois l'interet de sa remarque mais je préfère ne pas en prendre compte parce que je crains de m'embrouiller si j'en tiens compte ....
donc 0<c<1donc obligatoirement 0<c^n<1 et donc 0<-((c^n)/(exp(c))n!)<1/(exp(c)n!) et comme 1/(exp(c)n!) tend vers 0 lorsque n tend vers +infini car c est une constante alors Un/e - 1 tend vers 0 quand n tend vers l'infini donc forcement a la limite Un/e tend vers 1 et donc Un tend vers e... C'est correct ce que j'ai ecris ???

[invite57a1e779]

C'est correct ce que j'ai ecris ???

Pas vraiment !!

C'est bien l'idée, mais avec , je ne vois pas comment tu parviens à

0<-((c^n)/(exp(c))n!)

[invitec317278e]

Oui, à une erreur près :
quand tu multiplies par -1 au centre d'une inégalité, il faut inverser le sens des inégalités, et multiplier partout par -1 !

Edit : pour changer...grillé XD

[invite99706724]

je suis un peu perdu parmi tout ce que vous m'avez dit je ne sais pas pr moi si c est superieur à 0 alors ben toute puissance de c le sera aussi non???

Thorin : où est ce que je multiplie par -1 dans mon calcul???

[invitec317278e]

et bien il y a un " - " qui apparait au beau milieu d'une de tes inégalités, et on se demande pourquoi il est là.

[invite99706724]

ha mais oui en effet je n'avais pas fai attention à ce moment la j'obtiens mon truc avec un "-" enfin j'obtiens ca :
-1/(exp(c)n!)<-((c^n)/(exp(c))n!)<0et à ce moment là de la meme facon ca tend vers 0 des deux cotes donc forcement dans le milieu ossi et donc j'obtiens ce qu eje veux c'est bien ca ?

[invitec317278e]

Oui..... !

[invite99706724]

d'accord ben c'est super merci beaucoup!!!! j'ai plus qu'à rédiger tout cela!!