Hypothèse du continu

invite0fb72cf8 · 14/11/2008, 15h55

Bonjour à tous,

Avant toute chose, rassurez vous, je ne vais pas vous demander de vérifier ma preuve de l'hypothèse du continu

J'ai un petit truc qui me perturbe. En gros, cette hypothèse affirme que $\text{[math]}$ , et elle est indécidable dans ZFC. Maintenant, avec des développements en base 2, je peux prouver assez facilement que $\text{[math]}$ .

Là, ça m'a perturbé, parce que j'ai toujours pensé que $\text{[math]}$ , et que $\text{[math]}$ . J'ai un peu googlé, et en fait, il semblerait que la première égalité soit vraie plus ou moins par définition. J'avais toujours pensé que la seconde était la définition de $\text{[math]}$ , mais il semblerait que cela soit faux, et qu'en fait $\text{[math]}$ est le cardinal de l'ensemble des parties de $\text{[math]}$ . Mais cet ensemble n'est t'il pas égal à $\text{[math]}$ , et ne peut t'on pas prouver que cet ensemble est équipotent à $\text{[math]}$ (disons que j'ai une idée vague de comment le prouver) ?

Bref, je suis un peu perdu, si une bonne âme pouvait éclairer ma lanterne ...

Amicalement,

Ising

**Médiat** · 14/11/2008, 16h33

Envoyé par Ising

J'ai un petit truc qui me perturbe. En gros, cette hypothèse affirme que $\text{[math]}$ , et elle est indécidable dans ZFC. Maintenant, avec des développements en base 2, je peux prouver assez facilement que $\text{[math]}$ .

Là, ça m'a perturbé, parce que j'ai toujours pensé que $\text{[math]}$ [...], il semblerait que la première égalité soit vraie plus ou moins par définition.

Plutôt plus que moins par définition

Envoyé par Ising

J'avais toujours pensé que la seconde était la définition de $\text{[math]}$ , mais il semblerait que cela soit faux, et qu'en fait $\text{[math]}$ est le cardinal de l'ensemble des parties de $\text{[math]}$ .

Ca par contre c'est faux, le cardinal $\text{[math]}$ est bien $\text{[math]}$ (ta démonstration sans, doute). Mais la définition de $\text{[math]}$ est d'être le successeur de $\text{[math]}$ , il est donc possible qu'il soit strictement plus petit que $\text{[math]}$ (c'est un choix, puisque justement c'est indécidable.

invité576543 · 14/11/2008, 16h51

Doublon...

invite0fb72cf8 · 14/11/2008, 17h29

Merci beaucoup. Donc, il est inexact d'affirmer que $\text{[math]}$ .

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

invité576543 · 14/11/2008, 17h33

(Tu voulais écrire 2 à la puissance aleph 0, l'ensemble des fonctions de N dans {0,1}, non?)

Pas inexact. C'est indécidable, donc tu peux choisir de l'affirmer sans risquer d'introduire une contradiction avec la théorie ZF. En maths, on fait ce qu'on veut, sauf introduire des contradictions

Cordialement,

**ericcc** · 14/11/2008, 17h36

Envoyé par Ising

Merci beaucoup. Donc, il est inexact d'affirmer que $\text{[math]}$ .

Mais on peut prouver que Card IN^IN=Card IR, grâce à la construction de IR par les suites de Cauchy, n'est il pas ?

invite0fb72cf8 · 14/11/2008, 18h24

Envoyé par Michel (mmy)

Pas inexact. C'est indécidable,...

Oui, c'est ce que je voulais dire, je me suis mal exprimé. Merci beaucoup.

**Médiat** · 14/11/2008, 18h34

Envoyé par Michel (mmy)

(Tu voulais écrire 2 à la puissance aleph 0, l'ensemble des fonctions de N dans {0,1}, non?)

Ce n'est pas grave puisque $\text{[math]}$

Cordialement,

Hypothèse du continu