Suite et matrice

[invitebcc0a73f]

Bonjour,

Voici l'énoncé de mon exercice, j'ai une suite sur .

J'ai trouvé une relation matricielle :

Avec

Maintenant je dois montrer la relation : ||.|| représente la norme euclidienne
, et

J'ai essayé de calculer la norme de A et celle de A pour trouver un k qui soit supérieur à cette norme, mais cette dernière est assez compliqué à calculer, et je n'ai pas été au bout.

Est-ce qu'il y a une autre solution?


Merci d'avance.

Au revoir
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[invitea2a307a0]

bonjour,
le calcul de det (A) ne permettrait-il pas de conclure ?

Bon courage.

[invitebcc0a73f]

Est-ce que cela veut dire que l'expression est vrai lorsque k est supérieur à det (A), ou alors ce n'est pas ça.

[invitebcc0a73f]

J'ai réfléchi encore un peu au problème et je ne pense pas que le déterminant intervienne dans cette question puisqu'il est négatif et de plus on parle de norme.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea2a307a0]

bonjour,
les valeurs propres de la matrice A sont telles que A.X = v . X, où v est un nombre.
on trouve les valeurs propres de A en calculant det(A-xI) où I est la matrice identité. Si les valeurs propres sont toutes comprises entre -1 et 1, la démonstration est faite.
Je vais faire les calculs.
Bon courage.

[invitea2a307a0]

det(A-v I)=0 donne v = 1/2 , i/3 et -i/3. Ces trois valeurs propres ont un module inférieur à 1. Donc l'égalité est prouvée.

[invitebcc0a73f]

Je vous remercie pour votre aide.

Mais je ne savais pas qu'on pouvait démontrer ceci comme ça.

Au revoir.

[invitebcc0a73f]

J'ai réussi à montrer que la suite Z_n était de Cauchy, mais maintenant il me demande de démontrer qu'elle est convergente, et j'ai essayé de reprendre la définition mais je suis un peu perdu avec ce système de suite.

Je vous mets ce que vaut la constante B :


Pourriez-vous me donner un coup de main?

[invite3240c37d]

Si tu as montré que est de Cauchy , la messe est dite puisque cela entraine la convergence avec la topologie euclidienne de (regarde ton cours !).
... An other one ..
. Par addition et télescopage on obtient
On a l'identité
Toutes les valeurs propres de sont différentes , donc est diagonalisable , et comme leur module est inférieur à 1 on a la convergence (matrice nulle)
Il s'ensuit la convergence , et donc la convergence
Do you follow me ...

[invitebcc0a73f]

Merci beaucoup pour votre aide.

Il me reste plus qu'à calculer ce que vaut cette limite.