Bonjour,
Voici mon problème:
Je cherche à programmer le phénomène de flambement d'une poutre et ceci m'amène à devoir résoudre le problème d'algèbre suivant.
On à deux matrices carrées de taille n qu'on note A et B; elles sont toutes deux symètriques à coefficients réels et pas nécessairement inversibles.
Le problème consiste à trouver un (ou tous ce serait mieux) réel p non nul tel qu'il existe un vecteur V tel que:
(A+p*B)*V=0
Je sèche complètement donc toute idée est la bienvenue.
Notons M = A+p*B
Je suppose qu'il faut existe un vecteur V non nul (sinon la question n'a pas de sens) tel que :
MV=0.
Autrement dit que le noyau de M (de l'endomorphisme associé plutot mais bon, on se comprend) soit non nul, ce qui est parfaitement équivalent à M non inversible ( effectivement, on si ton application est un endomorphisme : ker f = {0} <=> f est bijective donc inversible ).
Autrement dit que le déterminant de M (= A+p*B) soit nul.
Donc pour répondre à ta question, tu calcules le déterminant de A+pB, tu devrais tomber sur un polynome en p dont tu cherches les racines (en calculant le déterminant comme il faut, en additionnant les lignes et colonnes judicieusement, on peut avoir les racines directement ... mais ce n'est pas forcé).
Merci beaucoup pour cette idée. C'est une bonne piste de réflexion. Cependant je doute qu'elle soit très applicable à la programmation surtout avec mon niveau.
Par ailleurs j'ai oublié de préciser que les deux matrices sont de type bande (7 diagonales)et effectivement V est non nul.
Par contre une grosse difficulté que je n'avais pas remarqué précédemment est que lorsqu'on impose les conditions limites cela reviens à annuler tous les coefficients de la première et de la dernière colonne de chacune des matrices.D'où l'impossibilité d'utiliser le déterminant car alors il est toujours nul.
Désolé pour ces oublis que je n'ai découvert que ce matin.
Bonjour,
Si tous les coefficients de la première et de la dernière colonne de chacune des matrices sont nuls, alors, pour touton a
Envoyé par stanislasB
Tu poses une question d'algèbre ... j'y répond et la réponse et exacte ... mais comme souvent, vu que venant d'un mathématicien, elle ne sert à rien
Certes cette réponse est très théorique mais c'est à l'heure actuelle le seule que j'ai.
Concernant les conditions limites elles imposent en réalité que certains coefficients de V soient nulles(par exemple le premier et l'avant dernier pour le cas le plus classique). Ce qui me semblait être similaire au fait d'annuler certaines colonnes de M.Mais ce n'est apparemment pas le cas...
Je ne sais donc pas du tout comment m'en sortir.Je pense qu'il faut utiliser l'idée des racines du déterminant mais...
pour qu'on puisse mieu t'aider, tu peux nous donner plus d'info? En quel niveau es tu? dans quel cadre fais tu ce calcul (apparement, il s'agit d'un sujet scolaire).
En revenant sur le problème, tes matrices A et B, tu les connais à l'avance? les coefficients sont fixes? avec quel langage travailles tu ?
Re : Problème d'Algèbre matriciel
Je suis en première année à l'école normale supérieure.
Je sors fraichement d'une prépa math spé.
Il s'agit effectivement d'un problème scolaire.C'est une partie d'un projet de méthodes numériques dont l'objectif est de déterminer la charge critique de flambement d'une poutre.
Dans ce sujet j'ai d'abord résolu une formulation variationnelle que j'ai ensuite discrétisé sur un ensemble de tronçons de la poutre, ce qui m'a amener à ce problème matriciel.
On est bien sur dans le cadre de l'hypothèse des petits déplacements.
P est la charge exercée.
V est le vecteur des déplacements des noeuds de la poutre(points de raccordement de deux tronçons) dans un plan contenant cette dernière (qu'on a modélisé par une tige d'épaisseur nulle et qui est définie par son moment quadratique, son module d'Young et sa longueur).
Les matrices A et B contiennent des termes très compliqués (intégrales de différents produits de dérivées de fonctions de formes sur différents tronçons.)je ne pense donc pas qu'il soit nécessaire de les expliciter mais si vous le voulez je peux le faire.
Concernant V on a V=(V1,O1,V2,O2...Vn,On) avec Vi le déplacement du noeud i dans une direction perpendiculaire à la poutre au repos. et Oi=d(Vi)/dx avec la hauteur du points considéré.
D'où la nature des conditions limites que je proposait( cas de la poutre rotulée en haut et en bas.Donc V1 et Vn sont nuls.On peut imposer d'autres conditions.)
les coefficients de A et B sont fixes et je programme en C++.
J'espère être assez précis. Si tu veux d'autre informations qui pourraient t'aider à m'aiderje n'hésiterait pas à te les fournir.
En tout cas merci de te pencher autant sur mon problème.
Par ailleurs un prof m'a vaguement proposé de prendre en compte les conditions limite en éliminant les lignes et colonnes correspondantes dans les matrices. Sans plus de détails. Je ne sais pas trop ce qu'il voulait dire mais il avait l'air sérieux donc la piste de réflexion doit être viable...
