Salut tout le monde
Voilà j'ai la loi o qui est définie sur E={polynomes unitaires, non constants et à coeffs réels} par AoB=A(B)
Je dois montrer que tout élément de E est simplifiable à droite cad
[(A,A')€E² et AoB=A'oB] => A=A'
Je dois montrer ça avec les degrés (sans utiliser les familles libres ou les fonctions polynomes, c'est les 2 méthodes demandées après)
Je bloque pas mal... Quelq'un a une idée?
Merci
En utilisant le théorème de Gauss ca ne marche pas?
Prenons bi n+1 points réels vérifiant B(bi) différent de B(bj) pour i différent de j, où n est le degré du polynôme.
Et comme AoB=A'oB alors c'est vrai pour ces n+1 points.
etc...
Je crois que ça fait un peu appel aux fonctions polynomes, non ?
indication : (A-A')oB=0
C'est quoi l'intérêt d'avoir des polynômes unitaires, ici ?
Bonjour,
Déjà A et A' ont même degré (équivalent à +oo). ensuite pourquoi pas un bon vieux récurrage sur le degré de A (=A') : en dérivant la relation on diminue de 1 le degré.
Re : [MPSI] Polynômes
J'ai bien peur que la dérivation ne fasse sortir notre joli polynome de son confortable ensemble E à cause de la condition unitaire.... d'où quelque problèmes pour la récurrence...
Merci de vos réponses
Alors pour la méthode des degrés, ça donne (A-A')oB=o donc d°(A-A')*d°(B)=-oo donc d°(A-A')=-oo donc A-A'=0 ie A=A'
et la méthode des fonctions polynomes j'utilise le th de gauss et ça marche.
(les polynomes unitaires ça sert pour la suite)
Reste plus que la méthode des familles libres... mais on a à peine commencé le cours dessus.. genre 5 min
On a par defintion de la composition (A-A')oB=0
si A-A' n'est pas le polynome nul et B aussi alors
deg ((A-A')oB)=deg(A-A')*deg(B))
donc on a une contradiction car deg(A-A')*deg(B)) est entier
et deg ((A-A')oB)=deg(0)=-infinie
donc soit A-A' est nul ,soit B est nul or B est non nul car dans E
donc A=A'
oui doryphore tu as raison la dérivation n'est pas acceptable car le polynome dérivé n'appartient pas à E
Re : [MPSI] Polynômes
Fais bien gaffe de dire que B est non constant sinon "forme indéterminée"
Re : [MPSI] Polynômes
Tu sais au moins que (1,X,X²,....) forme une famille libre de R[X]?
Et pourquoi personne ne regarde ma réponse, elle est pourtant simple et directe...
Re,
Si P est unitaire P'/d°P est aussi unitaire ....
Ben si, Quinto, elle a été prise en compte pour la résolution par les fonctions polynomes....
mumutt, tu la commence à quel rang, la récurrence ?
Quinto => si j'ai utilisé ta méthode
µµtt => oui ça se démerde peut-être comme ça
doryphore => (1,X,X²,...,X^n) est une famille libre je suis d'accord
on a (A-A')oB=0
Si on écrit A-A'=co+c1X+c2X²+...+cnX^n on a co+c1B+c2B²+...+cnB^n=0
suffit-il de dire que B est non constant pour en conclure que tous les ci sont nuls et qu'ainsi le polynôme A-A' est nul ?
Re : [MPSI] Polynômes
Oui, je pense que tu ne l'as pas dit explicitement mais que tu comptes monter que quand B n'est pas constant, (1,B,B²,...) forme une famille libre de R[X].
la famille (1,..,B^n) est libre car echelonné en degré
en effet pour tout k dans [0,n-1] deg(B^k)<deg(B^(k+1))<deg(B^n)
car B n'est pas constant donc deg B>0
µµtt, tu ne peux pas utiliser d'équivalence si tu ne te places pas aux niveau des fonctions polynômes... Donc pour le fait que A et A' ont le même degré ça ne peut pas aller... je crois.
