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Moindre carré



  1. #1
    Newenda

    Moindre carré

    Bonjour, j'ai un petit problème :

    On sait que l'amplitude de l'onde d'un tremblement de terre s'atténue avec la distance suivant la loi :




    A(i) représente l'amplitude aux coordonnées x(i) et y(i)
    et X et Y la localisation de l'épicentre
    E étant l'énergie totale libérée par le séisme

    On recherche bien sur la localisation (ou ici plus exactement la densité de probabilité de localisation) de l'épicentre

    Nous avons 6 stations de mesures dont les coordonnées sont (unité arbitraire) :
    x(1)=3 ; y(1)= 2
    x(2)=12 ; y(2)= 6
    x(3)=7 ; y(3)= 12
    x(4)=18 ; y(4)= 13
    x(5)=15 ; y(5)= 17
    x(6)=19 ; y(6)= 2

    -NOUS AVONS UNE INCERTITUDE DE +/- 2 sur la position de chacune de ces stations-

    et donc 6 valeurs de A(i) ou plutot log(A(i)) pour chaque station :
    log(A(1)) = 0.3
    log(A(2)) = 1.4
    log(A(3)) = 1.9
    log(A(4)) = 0.1
    log(A(5)) = 0.3
    log(A(6)) = -1.2

    -NOUS AVONS UNE INCERTITUDE DE +/- 0.1 sur ces valeurs de logs-

    Remarque : nous travaillons en valeurs de log donc la première équation se transforme en :

    log(A(i)) = log(E) - log( [ (X-x(i))^2 + (Y-y(i))^2) ]^(1/2) )

    J'aimerais savoir comment résoudre ce problème (inverse) par la méthode des moindres carrés en sachant donc qu'on a
    -un vecteur d'observations :
    o = {log(A(1)), log(A(2)), ...., log(A(6))}

    -et un vecteur des paramètres du model :
    m = {E, X, Y, x(1), x(2), x(3), x(4), x(5), x(6), y(1), y(2), y(3), y(4), y(5), y(6)}

    PS : on peut prendre E=15 par exemple (pas d'incertitude dessus)

    Merci beaucoup d'avance !

    -----

    Dernière modification par Newenda ; 26/11/2008 à 15h38.

  2. Publicité
  3. #2
    jobherzt

    Re : Moindre carré

    A vue de nez ton equation n'est pas lineaire en X et Y, donc a priori ca ne se trouve pas analytiquement. Mais l'idée generale de la methode des moindres carrés est la suivante : Tu as une fonction A(x,y) qui depend de 2 parametres X,Y (attention a la distinction majuscule/minuscules ), donc qu'on peut ecrire comme une fonction de 4 variables A(X,Y,x,y).

    Ce que tu cherches, c'est a minimiser la quantitée :


    Je ne suis pas certain que ca se fasse de maniere exacte, mais tu peux utiliser un logiciel d'analyse numerique (par exemple octave, qui est libre et gratuit) pour appliquer l'algorithme de Levensberg-Marquardt par exemple.

  4. #3
    Newenda

    Re : Moindre carré

    Citation Envoyé par jobherzt Voir le message


    Oui c'est numériquement, mais là aussi est mon souci, comment qu'on traduit sous matlab cette minimisation?

    Merci encore d'avance !

  5. #4
    jobherzt

    Re : Moindre carré

    Je pense qu'il faut d'abord ecrire un script qui definit la fonction F(X,Y), puis la commande doit etre un truc du genre leasqr('F', [valeurs initiales).

  6. #5
    Newenda

    Re : Moindre carré

    Justement, j'ai vraiment du mal à écrire le script en prenant en compte les incertitudes sur les valeurs de log(A(i)) et x(i), y(i) ! je suppose une gaussienne mais je sais pas du tout faire ça numériquement (je n'ai que matlab).

    help..

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    jobherzt

    Re : Moindre carré

    Pour les incertitudes, elle est sensiblement la meme pour chaque point, il me semble, donc ca ne changera pas grand chose d'en tenir compte.

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  10. #7
    Newenda

    Re : Moindre carré

    Citation Envoyé par jobherzt Voir le message
    Pour les incertitudes, elle est sensiblement la meme pour chaque point, il me semble, donc ca ne changera pas grand chose d'en tenir compte.
    Oui ! tant mieu ! bon par contre je n'arrive pas à écrire F(X,Y), je vois toujours pas comment faire...

  11. #8
    jobherzt

    Re : Moindre carré

    bah la formule est explicte, pourtant ! si tu sais ecrire une fonction sous Matlab il n'y a pas de probleme...

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