1-forme différentielle

invite769a1844 · 26/11/2008, 22h27

Bonsoir,

Soit $\text{[math]}$ un chemin de classe $\text{[math]}$ . Si $\text{[math]}$ est une 1-forme différentielle continue sur $\text{[math]}$ , le nombre

$\text{[math]}$

est appelée l'intégrale de la forme $\text{[math]}$ sur le chemin $\text{[math]}$ , et on la note $\text{[math]}$ .

Si $\text{[math]}$ , je dois écrire des formules pour $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ .

J'ai trouvé $\text{[math]}$ , où $\text{[math]}$ sont les composantes de $\text{[math]}$ .
Mais avec cette formule je ne vois pas comment en trouver une pour $\text{[math]}$ ?

Merci pour votre aide.

**God's Breath** · 26/11/2008, 22h34

Bonsoir,

Puisque $\text{[math]}$ , tu as tout simplement $\text{[math]}$

**Gwyddon** · 26/11/2008, 22h43

Bonsoir,

Je suis peut-être idiot, mais je ne comprend pas la formule présentée

$\text{[math]}$ n'est pas un nombre, donc comment

$\text{[math]}$ pourrait être un nombre ? Il ne manquerait pas une norme quelque part ?

invite769a1844 · 26/11/2008, 22h48

Envoyé par God's Breath

$\text{[math]}$

Ce qui me pose problème c'est que pour la dernière égalité, dans le membre de gauche l'intégrale c'est juste une notation, et dans le membre de droite, c'est une vrai intégrale.

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

invite769a1844 · 26/11/2008, 22h50

Envoyé par Gwyddon

Bonsoir,

Je suis peut-être idiot, mais je ne comprend pas la formule présentée

$\text{[math]}$ n'est pas un nombre, donc comment

$\text{[math]}$ pourrait être un nombre ? Il ne manquerait pas une norme quelque part ?

C'est un vecteur, non?

**God's Breath** · 26/11/2008, 22h53

Je ne vois pas où est le problème : $\text{[math]}$ est une notation, dont on se sert pour noter le nombre $\text{[math]}$ ...

invite769a1844 · 26/11/2008, 22h56

ok, je me suis un peu embrouillé, j'ai compris.

Merci

**God's Breath** · 26/11/2008, 22h59

Bonsoir ,

Envoyé par

Je suis peut-être idiot, mais je ne comprend pas la formule présentée

$\text{[math]}$ n'est pas un nombre, donc comment

$\text{[math]}$ pourrait être un nombre ? Il ne manquerait pas une norme quelque part ?

$\text{[math]}$ est une 1-forme différentielle, donc, pour tout $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ est une forme 1-linéaire alternée, autrement dit une simple forme linéaire.

Pour tout $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ est bien un vecteur, et $\text{[math]}$ est bien un nombre, la valeur de la forme $\text{[math]}$ sur $\text{[math]}$ ; il eut été peut-être plus clair de la noter $\text{[math]}$ , ou encore $\text{[math]}$ en utilisant le crochet de dualité, mais la notation devient lourde et l'habitude est de noter ce nombre tel que Rhomuald l'a fait.

invite769a1844 · 26/11/2008, 23h05

oulah, heureusement que gwyddon a posé la question, j'avais interprété la fonction $\text{[math]}$ comme une fonction vectorielle.

Encore merci.

invitea41c27c1 · 26/11/2008, 23h11

Pour réponre à Gwyddon :
Il faut comprendre les notations, parce que ce n'est pas clair si on a jamais vu :

$\text{[math]}$ est une application de $\text{[math]}$ . Donc pour $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ est une forme linéaire (donc ça s'évalue sur des vecteurs). $\text{[math]}$ est donc la forme lineaire $\text{[math]}$ évaluer sur le vecteur $\text{[math]}$ , donc $\text{[math]}$ .
La notation est ambigue, mais on s'y habitue. On ne met rien entre $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ car on le pense comme un produit d'un élément de $\text{[math]}$ par un élément de $\text{[math]}$ .

invitea41c27c1 · 26/11/2008, 23h13

Oups God's Breath m'a devancé...

**God's Breath** · 26/11/2008, 23h15

Envoyé par rhomuald

ok, je me suis un peu embrouillé, j'ai compris.

En fait c'est un peut plus compliqué.

$\text{[math]}$ est une 1-forme différentielle définie sur un sous-ensemble $\text{[math]}$ de $\text{[math]}$ à valeurs réelles, c'est-à-dire une application de $\text{[math]}$ dans le dual $\text{[math]}$ de $\text{[math]}$ : pour tout point $\text{[math]}$ de $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ est une forme linéaire à évaluer sur un vecteur $\text{[math]}$ de $\text{[math]}$ , ce qui donne le nombre réel $\text{[math]}$ .

$\text{[math]}$ est une application de $\text{[math]}$ dans $\text{[math]}$ , de classe $\text{[math]}$ , qui permet de définir $\text{[math]}$ comme 1-forme différentielle sur $\text{[math]}$ à valeurs réelles : pour tout point $\text{[math]}$ de $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ est une forme linéaire sur $\text{[math]}$ , c'est-à-dire une homothétie de $\text{[math]}$ dont le rapport est $\text{[math]}$ , c'est bien ce que signifie a notation $\text{[math]}$ .

Or la forme différentielle $\text{[math]}$ à valeurs réelles, dont la valeur en $\text{[math]}$ est l'homothétie de rapport $\text{[math]}$ , se note $\text{[math]}$ , donc il est bien naturel d'écrire $\text{[math]}$ .

Tout le reste n'est que du calcul bestial, qu'il faut s'entraîner à faire mécaniquement, tout en gardant conscience de la nature des objets que l'on manipule, sous peine d'écrire n'importe quoi.

invite769a1844 · 26/11/2008, 23h30

ok mais du coup ça me parait plus tordu pour justifier l'existence de cette intégrale, on a une forme linéaire qui dépend de t, auquel on applique un vecteur dépendant lui aussi de t.
ça me fait penser à la formule de dérivation de composée de fonction, mais comme $\text{[math]}$ est à valeurs dans $\text{[math]}$ , je me demande si je peux affirmer du fait qu'elle est continue, qu'elle admette une primitive.

invite769a1844 · 27/11/2008, 00h11

bon finalement, je pense avoir trouvé, en la faisant à la main.

**God's Breath** · 27/11/2008, 07h01

Envoyé par rhomuald

ça me parait plus tordu pour justifier l'existence de cette intégrale-

$\text{[math]}$ est continue, et $\text{[math]}$ est de classe $\text{[math]}$ , donc $\text{[math]}$ est continue, et il n'y a aucun problème pour l'intégrer sur le segment $\text{[math]}$

invite769a1844 · 27/11/2008, 07h15

oui, mais je ne reconnais pas une opération usuelle conservant la continuité à travers le point de " $\text{[math]}$ "
(ce n'est pas un produit où une composition, c'est pour ça que ça me gênait un peu).

**God's Breath** · 27/11/2008, 07h25

Envoyé par rhomuald

mais je ne reconnais pas une opération usuelle conservant la continuité à travers le point de " $\text{[math]}$ "

L'application $\text{[math]}$ est bilinéaire, continue...

L'application $\text{[math]}$ est continue puisque $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ le sont...

Donc $\text{[math]}$ est continue par composition.

invite769a1844 · 27/11/2008, 11h55

ah oui, je n'avais pas pensé à cette forme bilinéaire, j'aurai du l'écrire avec le crochet de dualité, ça m'aurait sûrement mis sur la piste.

Merci gb.

**Gwyddon** · 27/11/2008, 13h43

Merci pour vos réponses, j'avais zappé une étape

1-forme différentielle

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