1-forme différentielle

[invite769a1844]

Bonsoir,

Soit un chemin de classe . Si est une 1-forme différentielle continue sur , le nombre

est appelée l'intégrale de la forme sur le chemin , et on la note .

Si , je dois écrire des formules pour et .

J'ai trouvé , où sont les composantes de .
Mais avec cette formule je ne vois pas comment en trouver une pour ?

Merci pour votre aide.
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[invite57a1e779]

Bonsoir,

Puisque , tu as tout simplement

[invite9c9b9968]

Bonsoir,

Je suis peut-être idiot, mais je ne comprend pas la formule présentée

n'est pas un nombre, donc comment

pourrait être un nombre ? Il ne manquerait pas une norme quelque part ?

[invite769a1844]

Ce qui me pose problème c'est que pour la dernière égalité, dans le membre de gauche l'intégrale c'est juste une notation, et dans le membre de droite, c'est une vrai intégrale.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite769a1844]

Bonsoir,

Je suis peut-être idiot, mais je ne comprend pas la formule présentée

n'est pas un nombre, donc comment

pourrait être un nombre ? Il ne manquerait pas une norme quelque part ?

C'est un vecteur, non?

[invite57a1e779]

Je ne vois pas où est le problème : est une notation, dont on se sert pour noter le nombre ...

[invite769a1844]

ok, je me suis un peu embrouillé, j'ai compris.

Merci

[invite57a1e779]

Bonsoir ,

Je suis peut-être idiot, mais je ne comprend pas la formule présentée

n'est pas un nombre, donc comment

pourrait être un nombre ? Il ne manquerait pas une norme quelque part ?

est une 1-forme différentielle, donc, pour tout , est une forme 1-linéaire alternée, autrement dit une simple forme linéaire.

Pour tout , est bien un vecteur, et est bien un nombre, la valeur de la forme sur ; il eut été peut-être plus clair de la noter , ou encore en utilisant le crochet de dualité, mais la notation devient lourde et l'habitude est de noter ce nombre tel que Rhomuald l'a fait.

[invite769a1844]

oulah, heureusement que gwyddon a posé la question, j'avais interprété la fonction comme une fonction vectorielle.

Encore merci.

[invitea41c27c1]

Pour réponre à Gwyddon :
Il faut comprendre les notations, parce que ce n'est pas clair si on a jamais vu :

est une application de . Donc pour , est une forme linéaire (donc ça s'évalue sur des vecteurs). est donc la forme lineaire évaluer sur le vecteur , donc .
La notation est ambigue, mais on s'y habitue. On ne met rien entre et car on le pense comme un produit d'un élément de par un élément de .

[invitea41c27c1]

Oups God's Breath m'a devancé...

[invite57a1e779]

ok, je me suis un peu embrouillé, j'ai compris.

En fait c'est un peut plus compliqué.

est une 1-forme différentielle définie sur un sous-ensemble de à valeurs réelles, c'est-à-dire une application de dans le dual de : pour tout point de , est une forme linéaire à évaluer sur un vecteur de , ce qui donne le nombre réel .

est une application de dans , de classe , qui permet de définir comme 1-forme différentielle sur à valeurs réelles : pour tout point de , est une forme linéaire sur , c'est-à-dire une homothétie de dont le rapport est , c'est bien ce que signifie a notation .

Or la forme différentielle à valeurs réelles, dont la valeur en est l'homothétie de rapport , se note , donc il est bien naturel d'écrire .

Tout le reste n'est que du calcul bestial, qu'il faut s'entraîner à faire mécaniquement, tout en gardant conscience de la nature des objets que l'on manipule, sous peine d'écrire n'importe quoi.

[invite769a1844]

ok mais du coup ça me parait plus tordu pour justifier l'existence de cette intégrale, on a une forme linéaire qui dépend de t, auquel on applique un vecteur dépendant lui aussi de t.
ça me fait penser à la formule de dérivation de composée de fonction, mais comme est à valeurs dans , je me demande si je peux affirmer du fait qu'elle est continue, qu'elle admette une primitive.

[invite769a1844]

bon finalement, je pense avoir trouvé, en la faisant à la main.

[invite57a1e779]

ça me parait plus tordu pour justifier l'existence de cette intégrale-

est continue, et est de classe , donc est continue, et il n'y a aucun problème pour l'intégrer sur le segment

[invite769a1844]

oui, mais je ne reconnais pas une opération usuelle conservant la continuité à travers le point de ""
(ce n'est pas un produit où une composition, c'est pour ça que ça me gênait un peu).

[invite57a1e779]

mais je ne reconnais pas une opération usuelle conservant la continuité à travers le point de ""

L'application est bilinéaire, continue...

L'application est continue puisque et le sont...

Donc est continue par composition.

[invite769a1844]

ah oui, je n'avais pas pensé à cette forme bilinéaire, j'aurai du l'écrire avec le crochet de dualité, ça m'aurait sûrement mis sur la piste.

Merci gb.

[invite9c9b9968]

Merci pour vos réponses, j'avais zappé une étape