1-forme différentielle
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1-forme différentielle



  1. #1
    invite769a1844

    1-forme différentielle


    ------

    Bonsoir,

    Soit un chemin de classe . Si est une 1-forme différentielle continue sur , le nombre


    est appelée l'intégrale de la forme sur le chemin , et on la note .

    Si , je dois écrire des formules pour et .

    J'ai trouvé , où sont les composantes de .
    Mais avec cette formule je ne vois pas comment en trouver une pour ?

    Merci pour votre aide.

    -----

  2. #2
    invite57a1e779

    Re : 1-forme différentielle

    Bonsoir,

    Puisque , tu as tout simplement

  3. #3
    invite9c9b9968

    Re : 1-forme différentielle

    Bonsoir,

    Je suis peut-être idiot, mais je ne comprend pas la formule présentée

    n'est pas un nombre, donc comment

    pourrait être un nombre ? Il ne manquerait pas une norme quelque part ?

  4. #4
    invite769a1844

    Re : 1-forme différentielle

    Citation Envoyé par God's Breath Voir le message
    Ce qui me pose problème c'est que pour la dernière égalité, dans le membre de gauche l'intégrale c'est juste une notation, et dans le membre de droite, c'est une vrai intégrale.

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    invite769a1844

    Re : 1-forme différentielle

    Citation Envoyé par Gwyddon Voir le message
    Bonsoir,

    Je suis peut-être idiot, mais je ne comprend pas la formule présentée

    n'est pas un nombre, donc comment

    pourrait être un nombre ? Il ne manquerait pas une norme quelque part ?

    C'est un vecteur, non?

  7. #6
    invite57a1e779

    Re : 1-forme différentielle

    Je ne vois pas où est le problème : est une notation, dont on se sert pour noter le nombre ...

  8. #7
    invite769a1844

    Re : 1-forme différentielle

    ok, je me suis un peu embrouillé, j'ai compris.

    Merci

  9. #8
    invite57a1e779

    Re : 1-forme différentielle

    Bonsoir ,

    Citation Envoyé par Voir le message
    Je suis peut-être idiot, mais je ne comprend pas la formule présentée

    n'est pas un nombre, donc comment

    pourrait être un nombre ? Il ne manquerait pas une norme quelque part ?
    est une 1-forme différentielle, donc, pour tout , est une forme 1-linéaire alternée, autrement dit une simple forme linéaire.

    Pour tout , est bien un vecteur, et est bien un nombre, la valeur de la forme sur ; il eut été peut-être plus clair de la noter , ou encore en utilisant le crochet de dualité, mais la notation devient lourde et l'habitude est de noter ce nombre tel que Rhomuald l'a fait.

  10. #9
    invite769a1844

    Re : 1-forme différentielle

    oulah, heureusement que gwyddon a posé la question, j'avais interprété la fonction comme une fonction vectorielle.

    Encore merci.

  11. #10
    invitea41c27c1

    Re : 1-forme différentielle

    Pour réponre à Gwyddon :
    Il faut comprendre les notations, parce que ce n'est pas clair si on a jamais vu :

    est une application de . Donc pour , est une forme linéaire (donc ça s'évalue sur des vecteurs). est donc la forme lineaire évaluer sur le vecteur , donc .
    La notation est ambigue, mais on s'y habitue. On ne met rien entre et car on le pense comme un produit d'un élément de par un élément de .

  12. #11
    invitea41c27c1

    Re : 1-forme différentielle

    Oups God's Breath m'a devancé...

  13. #12
    invite57a1e779

    Re : 1-forme différentielle

    Citation Envoyé par rhomuald Voir le message
    ok, je me suis un peu embrouillé, j'ai compris.
    En fait c'est un peut plus compliqué.

    est une 1-forme différentielle définie sur un sous-ensemble de à valeurs réelles, c'est-à-dire une application de dans le dual de : pour tout point de , est une forme linéaire à évaluer sur un vecteur de , ce qui donne le nombre réel .

    est une application de dans , de classe , qui permet de définir comme 1-forme différentielle sur à valeurs réelles : pour tout point de , est une forme linéaire sur , c'est-à-dire une homothétie de dont le rapport est , c'est bien ce que signifie a notation .

    Or la forme différentielle à valeurs réelles, dont la valeur en est l'homothétie de rapport , se note , donc il est bien naturel d'écrire .

    Tout le reste n'est que du calcul bestial, qu'il faut s'entraîner à faire mécaniquement, tout en gardant conscience de la nature des objets que l'on manipule, sous peine d'écrire n'importe quoi.

  14. #13
    invite769a1844

    Re : 1-forme différentielle

    ok mais du coup ça me parait plus tordu pour justifier l'existence de cette intégrale, on a une forme linéaire qui dépend de t, auquel on applique un vecteur dépendant lui aussi de t.
    ça me fait penser à la formule de dérivation de composée de fonction, mais comme est à valeurs dans , je me demande si je peux affirmer du fait qu'elle est continue, qu'elle admette une primitive.

  15. #14
    invite769a1844

    Re : 1-forme différentielle

    bon finalement, je pense avoir trouvé, en la faisant à la main.

  16. #15
    invite57a1e779

    Re : 1-forme différentielle

    Citation Envoyé par rhomuald Voir le message
    ça me parait plus tordu pour justifier l'existence de cette intégrale-
    est continue, et est de classe , donc est continue, et il n'y a aucun problème pour l'intégrer sur le segment

  17. #16
    invite769a1844

    Re : 1-forme différentielle

    oui, mais je ne reconnais pas une opération usuelle conservant la continuité à travers le point de ""
    (ce n'est pas un produit où une composition, c'est pour ça que ça me gênait un peu).

  18. #17
    invite57a1e779

    Re : 1-forme différentielle

    Citation Envoyé par rhomuald Voir le message
    mais je ne reconnais pas une opération usuelle conservant la continuité à travers le point de ""
    L'application est bilinéaire, continue...

    L'application est continue puisque et le sont...

    Donc est continue par composition.

  19. #18
    invite769a1844

    Re : 1-forme différentielle

    ah oui, je n'avais pas pensé à cette forme bilinéaire, j'aurai du l'écrire avec le crochet de dualité, ça m'aurait sûrement mis sur la piste.

    Merci gb.

  20. #19
    invite9c9b9968

    Re : 1-forme différentielle

    Merci pour vos réponses, j'avais zappé une étape

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