Magnifique exercice sur inégalité trigo

[mx6]

Allez pour le futur Euler :

Démontrer que pour tout x de R que :

Good luck !



ps: je sais pas comment faire ^^
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[MMu]

Ca revient à montrer que si alors . C'est évident si .
Pour les autres valeurs on a ... et je te laisse finir ...

[Jeanpaul]

Plus simple : on voit que c'est vrai pour x=0 et on démontre qu'on ne peut jamais avoir égalité entre cos(sin(x)) et sin(cos(x))
En effet, il faudrait que
sin(x) = pi/2 - cos(x) + 2 k pi ou
sin(x) = - pi/2 + cos(x) + 2 k pi
Or la somme ou la différence d'un sinus et d'un cosinus est un sinus multiplié par racine(2) qui ne peut valoir pi/2 car pi/2 > racine(2)

[mx6]

Y aurait il pas une autre méthode plus évidente ? car je comprend pas bien votre démarche..

[A voir en vidéo sur Futura]

[Jeanpaul]

Y aurait il pas une autre méthode plus évidente ? car je comprend pas bien votre démarche..

Plus évidente qu'une démonstration en 2 lignes ?
Bon, on va essayer.
On regarde la fonction f(x)=cos(sin(x)) -sin(cos(x)). Elle est continue sur R et vaut 1 pour x=0. Pour démontrer qu'elle est toujours positive, on raisonne par l'absurde : imaginons qu'elle est parfois négative, alors forcément elle s'annulera quelque part (because continuité).
Soit a la valeur où la fonction f(x) s'annule.
Alors cos(sin(a)) = sin(cos(a)) qui s'écrit aussi :
cos(sin(a))= cos(pi/2 - cos(a)) et quand 2 cosinus sont égaux c'est que
sin(a) = pi/2 - cos(a) + 2 k pi ou bien
sin(a) = -[pi/2 - cos(a)] + 2 k pi

Prenons le 1er cas : sin(a) + cos(a) = pi/2 + 2 k pi
sin(a) + cos(a) = sin(a) + sin(pi/2 - a) et si on écrit la formule sin(p) + sin(q) = 2 sin[(p+q)/2] cos[(p-q)/2] alors
2 sin(pi/4) . cos(a-pi/4) = pi/2 + 2 k pi
soit cos(a-pi/4) = pi/(2.racine(2)) + 2 k pi/(2.racine(2))
ce qui est impossible car la valeur absolue du terme de droite est supérieure à 1.
CQFD
le second cas à l'identique

[mx6]

Euh oui c'est déja mieux merci
Je dois réviser ma trigo par l'occasion ^^

[Jeanpaul]

Faire de la trigo sans connaître ses formules c'est comme jongler avec un bras dans le plâtre...

[mx6]

Tu as tout à fait raison et belle comparaison , n'aurais tu pas une fiche ou y a des formules trigo de base à part celle vu en classe de première ? qui sont pas très utiles face à des exos comme cela.

[Jeanpaul]

Tu as tout à fait raison et belle comparaison , n'aurais tu pas une fiche ou y a des formules trigo de base à part celle vu en classe de première ? qui sont pas très utiles face à des exos comme cela.

Des formules à connaître, il n'y en a pas des milliers :
sin² + cos²
tan = sin/cos
sin(2x)
cos(2x)
tan(2x)
sin(a+b)
cos(a+b)
sin(x), cos(x), tan(x) en fonction de tan(x/2)
sin(p) + sin(q)
sin(p) - sin(q)
cos(p) + cos(q)
cos(p) - cos(q)
sin(a) sin(b)
cos(a) cos(b)
les dérivées de sin, cos et tan
et c'est tout, je pense
Evidemment on peut dire que certaines se déduisent des autres mais l'expérience montre qu'il vaut mieux les connaître ainsi, histoire de voir les termes remarquables.
C'est pareil que la table de multiplication, on peut la recalculer mais c'est poussif et ça ne marche pas si bien. Par exemple de nombreux collégiens savent que 7.8 = 56 mais ils ne savent pas que 56 = 7.8 si bien qu'ils ne savent pas simplifier une fraction.

[ericcc]

Jean Paul je rajouterai la formule 1+tan²=1/cos² qui sert assez souvent quand on dérive la tangente; et les formules cos²(x/2)=(1+cos(x))/2 et sin²(x/2)=(1-cos(x))/2 qui se déduisent de celles de cos(2x)

[Jeanpaul]

Jean Paul je rajouterai la formule 1+tan²=1/cos² qui sert assez souvent quand on dérive la tangente; et les formules cos²(x/2)=(1+cos(x))/2 et sin²(x/2)=(1-cos(x))/2 qui se déduisent de celles de cos(2x)

Pas d'objection, on pourrait aussi dire cos(pi/2 - x) et le sinus mais c'est à chacun(e) de voir comment il (elle) mémorise et quel degré de mémoire visuelle il (elle) a.

[invitece2661ac]

bonjour
tres chere mx6 ce probleme possede-t-il une solution, si oui je veux la voir parceque moi je ne peux plus je leve le drapeau blanc. Il m'a donner des hics et des hics.

[Jeanpaul]

Oui, il y a une solution, elle est simple et elle est juste au-dessus !

[invitece2661ac]

Bonsoir
Un tres grand merci tres cher Jeanpaule j'avoue que je n'est pas vu de pres ta demonstration. En effet c'est tellement simple mais aussi celui qui l'a fait a du talent BRAVO avec majuscule tu le merite
quand à moi il faut que je fasse une consultation chez mon opticien
bonne soirée

[invitea41c27c1]

Je rajouterais les formules suivantes qui servent moins souvent (mais quand elles servent, elles sont vraiment utiles !!!)







and cie.

Et leurs versions hypobliques !!! (Là, c'est la bataille de signes + et -...)

[invitece2661ac]

bonjour a tous
un tres grand merci pour le faite de nous rappeler ces formules infini de trigo
Si vous me permettez cette question a propos de l'une d'elles rappellée dans le dernier message : Arctg(x) +Arctg(1/x) = constante avez vous une idée la plus simple pour arriver a ce resultat
Disant qu'il s'agit d'une recreation
Bonne journée a tous

[Jeanpaul]

On peut calculer la dérivée, c'est une façon parmi d'autres.
Ca rappelle le piège classique de calculer la variation de Argth(x) + Argth(1/x)

[ericcc]

On peut aussi partir de tan(a+b) et en déduire Arctan(a)+Arctan(b)

[invite64d911b2]

Bonjour, J'ai vraiment besoin qu'on m'aide pour cette exo, & Qu'on me dise ce quil faut faire, SVP

Voici L'énoncé :
Le sommet d'un chateau d'eau est vue sous un angle de 18 degrès par rapport à l'horizontale d'une lunette placé a 1.65 m du sol et a une distance de 70m du pied du chateau d'eau

1) Faire une figure
2) Calculer la hauteur du chateau d'eau . Donner sa valeur exacte puis l'arrondi a 1m prés
Je vous en pris, reponder moi rapidement.
Merci davance

[mimo13]

Bonjour et bienvenue sur le forum,

Pourquoi poster ici ??

Je te conseille d'ouvrir une nouvelle discussion, comme ça elle sera accessible à tous.