Limite d'une série de Riemann par plusieurs méthodes

[Haexyrus]

Bonsoir,

Il m'a été proposé un problème en trois parties proposant chacune une méthode pour trouver la limite de et j'avoue je n'arrive à conclure parfaitement sur aucune donc ... me voilà et voici la première méthode proposée :


Soit . On définit :
sur par :



On admet le lemme de Riemann-Lebegue : si g est une fonction de classe sur [a,b] alors

1) On définit sur par : et .

En admettant que et au voisinage de 0, démontrer que est de classe sur et préciser .

2) Mêmes questions pour définie sur par \psi (0) = 1 et .

3) Déterminer deux réels et indépendants de n et tels que

Déduire que est un réel indépendant de n que l'on précisera.

4) On définit la fonction h sur par : . Montrer que h se prolonge en une fonction de classe sur .

5) Déduire des questions précédentes que converge et donner sa limite.

6) Montrer que converge et donner sa limite.


Les questions 1,2 et 3 ne posent pas de problèmes, c'est juste du calcul et je trouve :






Pour la 4, la fonction que je pose est :


Je ne suis pas sûr à 100% de mes résultats donc ne vous y fiez pas directement, même si ça m'a l'air d'être bon.

Pour la 5 et la 6, je n'y arrive pas vraiment et j'attends votre aide (en plus de rectifications pour mes résultats s'il y en a lieu).

Merci d'avance.
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[Haexyrus]

Um, il y a une petite (bon, grosse) erreur puiqu'on a plutôt :





Et du coup :



en plus des changement des valeurs numériques un peu en dessous pour la fonction H.

Désolé hein

[Scorp]

Pour la 5) je n'ai pas encore eu le temps de tout lire, mais pour la 6) c'est plus simple.

Tu peux par exemple déduire la convergence et la limite de vn par celle de un. Je mets en spoiler pour te laisser chercher un peu

 Cliquez pour afficher

Tu as
et
On pose alors

On remarque vn correspond au termes en k impaire de un, et wn au k paires
On a donc


Or tu vois aussi que

De ces deux relations, tu peux donc en déduire vn en fonction de un et passer à la limite. Connaissant la limite de un, tu auras celle de vn

[Universus]

Salut,

Pour le 5), tu peux chercher à faire apparaître la fonction dans l'intégrale de ta formule pour . Étant donné que tu as démontré que cette fonction satisfait les hypothèses du lemme de Riemann-Lebesgue, on est déjà fort tenté de vouloir transformer cette intégrale afin de pouvoir obtenir celle qui apparaît dans le lemme et, puisque nous travaillons sur des suites (i.e. sur différentes valeurs de n) et que c'est la limite de cette suite qui nous intéresse, on pourra appliquer le lemme, nous donnant ainsi la valeur limite de .

Néanmoins, pour pouvoir transformer l'intégrale, je ne vois pas comment faire autrement que d'appliquer la formule du noyau de Dirichlet :



Je ne sais pas si c'est une formule que tu connais, mais elle évite justement de devoir travailler avec les sommations et éventuellement les séries qui apparaissent autrement. À partir de là, étant donné la définition de la fonction h, le lemme permet de conclure aisément.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Haexyrus]

Cette formule ne fait pas partie du cours mais on l'a traitée en exercice, et je pourrai bien la redémontrer sauf qu'elle est proposée dans la partie suivante dans une autre méthode pour le même problème et il est noté que les parties doivent être traitée de façon indépendante (De plus que la structure de la question oblige à utiliser ce qui précéde).

[mimo13]

Bonjour

On peut voir que:



Il s'agit alors de montrer que la quantité:
quand .

Si on dispose de la formule du noyau de Dirichlet le résultat immédiat, mais dans la cas contraire il est impératif de la démontrer, c'est évident car on voit le dans la fonction que je ne vois par venir d'une autre formule autrement.

Cordialement

[mimo13]

Re,

J'avoue que l'auteur du problème l'a un peu compliqué ( avec tous mes respects), j'ai déjà travaillé "l'originale" ( ou c'est peut être le contraire ) qui est l'épreuve des petites mines de 2002 si je ne me trompe pas.

Déjà remarquez une chose:
Le but du problème est de montrer que .

Le candidat se trouve devant le problème comment démontrer que :

quand

En développant on a :


Ce qui donne d'après le résultat précèdent:

qui est supposé tendre vers .

.

Je ne sais pas si vous avez compris ce que j'ai dit mais c'était comme si on passe juste à coté du résultat pour ensuite faire un tout autre raisonnement....

De toute façon, ce n'était que mon point de vue.

[Haexyrus]

c'était comme si on passe juste à coté du résultat pour ensuite faire un tout autre raisonnement....

En effet, j'étais assez content quand certaines quantités s'étaient simplifiées mais après je me suis rendu compte que ça me détournait complétement du résultat. Sinon, pour cette méthode, je crois que je vais juste redémontrer la formule du noyau de Dirichlet et conclure de la même façon que l'autre méthode.

Sinon, pour les autres méthodes, j'ai une petite question d'abord :

Montrer pour toute fonction de classe sur que :

J'ai essayé d'effectuer une intégration par parties :



Si j'arrive à démontrer que est un réel indépendant de n, je pourrai passer à la limite et conclure, mais je n'y arrive pas .

Heu, Mimo13, je vais oser te demander de re-jeter un coup d'oeil ici, si tu veux bien

[Thorin]

Si j'arrive à démontrer que est un réel indépendant de n, je pourrai passer à la limite et conclure, mais je n'y arrive pas .

c'est parce que c'est faux. En revanche, tu peux montrer que cette intégrale est bornée...

[mimo13]

Bonjour,

Je crois que ça revient au même à la fin, tu vas cette fois démontrer le lemme de Riemann Lebesgue.

Comme l'a déjà affirmé Thorin, tu peux poser , sachant que est sur .

[Haexyrus]

Du coup je me sens bête. Bon, j'ai ce qu'il me faut pour la 2ème méthode, passons à la 3ème :

Soit .
I) Montrer qu'il existe un polynôme tel que .
II) Expliciter les racines de puis calculer leur somme.
III) Démontrer que
IV) Déduire la valeur de

Mis à part la question III, je ne vois pas du tout comment procéder pour le reste

[mimo13]

Ah enfin la méthode classique pour calculer .

C.f Lien, post #27 .