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Calcul de la limite d'une série alternée



  1. #1
    thepasboss

    Calcul de la limite d'une série alternée


    ------

    Bonjour,

    J'ai énormément de problèmes avec cet exercice (tiré d'un oral de mines il me semble) qui demande de calculer :

    pour n tendant vers plus l'infini...

    Je dois avouer que je souffre beaucoups sur cet exo et que, si astuce il y a, je ne l'ai pas vu... Le mieux que j'ai pu obtenir est un encadrement de cette limite assez grossier ainsi qu'une dizaine de pages inutiles inspirés de la méthode de calcul de la série en ...

    Donc voila je patauge dans le semoule !

    Merci d'avance à tous !


    PS: désolé si un topic parlant de cette limite m'a échappé, j'ai fais une recherche et elle n'a rien donnée

    -----

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  3. #2
    Ledescat

    Re : Calcul de la limite d'une série alternée

    Salut.

    On peut s'intéresser à ce que vaut



    Par intégration, tout le bazar habituel... Après on n'a que semi convergence en (-1), mais je pense que ça posera pas trop de problèmes .
    Cogito ergo sum.

  4. #3
    thepasboss

    Re : Calcul de la limite d'une série alternée

    merci ledescat !

    Non non je n'avais pas oublié de dire merci j'étais juste entrain d'essayer ta méthode en faisant à peu près une faute de calcul par ligne (avis à ceux qui seraient tenté, ne tombez pas amoureux un mois avant les concours mais plutôt un mois après... ça déconcentre beaucoup...)


    Alors j'explicite mon raisonnement:

    Tout d'abord je pose

    et donc si on appelle F sa primitive qui s'annulle en 0 on trouve:



    et donc



    et donc f vérifie sur ]0,1[



    Donc on peut déduire l'expression de f sur ]0,1[ (chose que je n'ai pas faite car il faut y calculer une primitive de 1/(1+x^4) et j'ai un petit coup de barre...)

    Or on a une série entière réelle de rayon de convergence 1 telle que la somme converge en 1, donc la somme est continue sur ]-1,1] par le théorème d'abel (si je me souviens bien...) et donc la limite recherchée et la limite de la fonction f en 1 (ce qui par calcul ne doit pas être très compliqué)


    Voili voilu... Je vous en supplie dites moi que j'ai juste... il commence à me filer des boutons cet exercice ...

  5. #4
    jeanmi66

    Re : Calcul de la limite d'une série alternée

    Heuuu, mais Ledescat t'a mis sur une voie plus simple, tu utilise le théorême d'Abel et en 2 petites lignes, c'est plié, tu démontres qu'elle est semi-convergente
    Apprendre, c'est savoir... savoir, c'est maîtriser !

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    Ledescat

    Re : Calcul de la limite d'une série alternée

    avis à ceux qui seraient tenté, ne tombez pas amoureux un mois avant les concours mais plutôt un mois après... ça déconcentre beaucoup..
    Trop tard .
    Cogito ergo sum.

  8. #6
    jeanmi66

    Re : Calcul de la limite d'une série alternée

    Ha oui, tu l'a fait, j'avais pas vu désolé je suis pas sûr de ta séparation de somme !?
    Apprendre, c'est savoir... savoir, c'est maîtriser !

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  10. #7
    thepasboss

    Re : Calcul de la limite d'une série alternée

    erf si la séparation de somme est fausse ça veut dire que j'ai fais n'importe quoi... hum... ou alors on peut la séparer de manière plus simple ?
    ...
    ...
    ...
    (vérifie son calcul)
    ...
    ...
    ...

    Non je l'ai relu 4 ou 5 fois je ne vois pas d'erreur dans ma séparation de somme (enfin c'est peut-être le cas, je suis assez fatigué) ...

    Enfin sinon quel est la méthode pour réduire ça à deux petites lignes ??
    Si ça peut m'éviter des calculs tortueux...

    Merci d'avance !

  11. #8
    jeanmi66

    Re : Calcul de la limite d'une série alternée

    Non, pour les 2 lignes, je parlais de la démo du theoreme d'Abel pour démontrer la semi-convergence. Mais ça tu l'as deja fait apparement.

    Maintenant, tu cherches la somme. Je suis d'accord pour la séparation des sommes, la ligne après "donc f vérifie...", j'avoue ne pas saisir
    Apprendre, c'est savoir... savoir, c'est maîtriser !

  12. #9
    thepasboss

    Re : Calcul de la limite d'une série alternée

    Et bien pour le première somme je reconnais ln(1+x) et pour la deuxième je reconnais xf(x), après je dérive l'expression et j'obtiens l'équadiff du dessous.

    Enfin comme pour la séparation de somme j'ai pu me tromper de mille et une manières au cours de mon calcul

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