Convergence d'une série (après développement limité)

[invite896b79a7]

Salut à tous,

Soit la série Un = anln(a+1/n) - bcos(1/n) + csin(1/n); où a,b,c sont des réels.

Il faut étudier la convergence de cette série.
En procédant au développement au premier ordre on obtient:

Un = (a-b) + (c-a/2)(1/n) + o(1/n)

Déja a=b (pour qu'elle soit pas trivialement divergente, puis c=a/2 pour qu'elle soit pas équivalente à la série de terme général 1/n (divergente).

Et là, quand a=b=2c, que peut on dire? doit-on procéder au développement d'ordre 2 ? Dans la solution que j'ai de cette exercice, ils disent que pour a=b=2c, Un = o(1/n^2), mais en faisant le développement j'ai trouvé:

Un = -a/6n^2 + o(1/n^2), pour a=b=2c

Et là, Un est plutôt équivalente à (-a/6n^2) (et donc convergente) mais pas négligeable devant 1/n^2...

Est-ce que je me suis trompé en faisant le deuxième développement (le premier étant donné dans la correction).

Merci d'avance.
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[invitea07f6506]

Ce ne serait pas plutôt an.ln(1+1/n) ?

Sinon, je trouve un équivalent de la suite en 5a/(6n^2) (attention au signe du terme d'ordre 2 du cos), confirmé par Maple.

[invite896b79a7]

Oui, c'est bien ln(1+1/n) désolé, et c'est plutôt (5a/6n^2). Elle est donc convergente parcequ'équivalente à (5/6n^2) et pas négligeable devant 1/n^2.

Merci.