Question simple de topologie (compact)

[gatsu]

Bonjour,

Désolé pour la question idiote mais je n'ai pas fait beaucoup de topologie dans mon cursus et donc j'ai des lacunes élémentaires....

Lorsque je lis la définition générale d'un ensemble compact (en France) par exemple celle donnée sur Wiki, je n'arrive pas à voir pourquoi R (muni d'une topologie à intervalles ouverts par exemple) ne serait pas compact (puisqu'on peut toujours trouver une réunion finie d'ouverts qui recouvre R et la topologie est de Hausdorff il me semble) où est ce que je fais une erreur de raisonnement ?

Merci d'avance
-----

[Sylvestre]

Salut,
La définition de compact n'est pas qu'il existe un recouvrement avec des ouverts.
C'est que pour tout recouvrement avec des ouverts, il existe toujours parmis eux un nombre fini qui recouvre l'ensemble.

Dans le cas de R, je peux le recouvrir par les intervalles ]-i,i[ pour tout i entier par exemple. Mais je ne peux pas trouver un nombre fini d'entre eux qui à eux seuls recouvrent R.

[gatsu]

Salut,
La définition de compact n'est pas qu'il existe un recouvrement avec des ouverts.
C'est que pour tout recouvrement avec des ouverts, il existe toujours parmis eux un nombre fini qui recouvre l'ensemble.

Dans le cas de R, je peux le recouvrir par les intervalles ]-i,i[ pour tout i entier par exemple. Mais je ne peux pas trouver un nombre fini d'entre eux qui à eux seuls recouvrent R.

Ba oui mais la réunion de avec recouvre bien R et ce sont des ouverts non ?

[Sylvestre]

Oui, mais cela ne veut pas dire que R est compact.
Je reprends la définition :
R est compact si pour tout recouvrement d'ouverts on peut en extraire un recouvrement fini.
Or, toi tu m'as juste donné un recouvrement particulier, tu n'as pas vérifié que cela marchait pour tous les recouvrement.
D'ailleurs cela ne marche pas avec le recouvrement que j'ai donné.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea41c27c1]

Attention de mettre les quantificateurs au bon endroit !!!!
C'est peut-être ça qui t'a échappé Gatsu.

[gatsu]

Oui, mais cela ne veut pas dire que R est compact.
Je reprends la définition :
R est compact si pour tout recouvrement d'ouverts on peut en extraire un recouvrement fini.
Or, toi tu m'as juste donné un recouvrement particulier, tu n'as pas vérifié que cela marchait pour tous les recouvrement.
D'ailleurs cela ne marche pas avec le recouvrement que j'ai donné.

Ok j'avais zapper la partie "pour tout recouvrement" (en plus c'est écrit noir sur blanc sur wiki et dans ton message précédent je dois etre bigleux ).
merci