A quel axiome ensembliste on doit l'appartenance ?

[invitec37f3680]

essayez comeme de me donner la fonction d'equipotence , si vous dites que je l'ai donnez une nouvelle puisque l'equipotence est transitive
-----

[Médiat]

mais en realité on peut trouver des ensembles sans qu'on connaisse ce qu'il y a dedans !

Les grains de sables sur la plage par exemple ?
Mais à partir du moment où tu as écris "en realité" tu as quitté le domaine des mathématiques et tout particulièrement la théorie axiomatique des ensembles ...

[invitec37f3680]

lol ! vous avez raison ! c'est pour ca que je cherche ce qui a fait ( axiome ? ) que les mathématiques se sont aussi eloignés ( pour moi ) de la réalité ! et faire les modifications nécessaire pour pouvoir un jour donner à un ordinateur un ensemble non indexé ( une image ) , et qu'il la traite sans l'indexer ( pour traiter les objets qu'ils s'y trouvent) , car une fois indexé les informations dans une image deviennent que des pixels ! Vaiment je pense que je vais galerer si je choisi ca comme TIPE lol , mais je recherche dans ce domaine depuis longtemps je veux bien avancer p'importe la note que j'aurai

[invitec37f3680]

Tu peux nous dire ce que veut dire "lire une valeur d'un ensemble" et "x recoit la valeur d'un element quelconque" ?

Je te rappelle qu'on fait des maths, on ne parcourt pas des fichiers sur un disque dur... Les problemes que tu souleves n'ont simplement pas de sens.

Enfin tu sais bien qu'on est capable de prouver des choses qui sont vrais pour n'importe quel reel, alors meme que comme je le disais la majorité des reels ne peuvent pas etre ecrit ou decrit d'aucune maniere. Pourtant la phrase "soit x appartenant a R, il existe un rationnel q tel que x<q" est vraie, et c'est tout ce qui compte !

je sais que c'est correcte , mais je veux savoir pourquoi !! si vous me répondez parce que c'est evident je sous-entend un axiome derrière cela... Toutefois je ne parle pas si les mathématiques sont fausses ou pas ( c'est comme si ca peut l'etre ) , mais seulement qu'est ce qui fait que si E est un ensemble non vide , on peut avoir un élément x tel que "x appartient a E" soit vrai. (en réalité ( m.Médiat ) on peut pas toujours l'avoir , mais en mathématiques j'attend les axiomes qui le permettent...)

Merci beaucoup je sais que je suis têtu lol, vraiment merci pour vos réponses

[invitebe0cd90e]

Le probleme c'est que tu melanges des choses qui ne peuvent pas l'etre.

Si la question est : "peut on prendre a peu pres n'importe quoi comme axiome ?" La reponse est "si ca t'amuse tu fais ce que tu veux".

La theorie axiomatique des ensembles est venue pour formaliser et rendre rigoureuses des notions intuitives, elle n'est pas choisie au hasard. Mais elle se manipule tout de meme a un niveau purement logique, sinon ca n'aurait pas d'interet.

Pour cette question reels/rationnels, c'est une question dont la reponse est suffisamment intuitive pour qu'on puisse dire : "heureusement qu'on peut le prouver a partir des axiomes, sinon ca montrerait qu'ils ne sont pas bons".

Pour ta 2e question, la encore ca n'est pas clair. On peut te repondre qu'un ensemble non vide est par definition un ensemble qui contient des elements. Mais quand tu dis "on peut avoir x tel que la proposition 'x appartient a E est vraie'", la encore la phrase "on peut avoir x" n'est pas bien definie. S'il s'agit de savoir qu'il existe, alors oui, par definition formelle, logique, et c'est tout ce dont on a besoin pour faire des maths, il n'y a pas a chercher plus loin. S'il s'agit de savoir si je peux effectivement t'en trouver un pour n'importe quel ensemble que tu pourrais me donner, alors non, je ne peux en general pas l'ecrire.

A la limite, on peut dire que l'axiome qui le permet c'est justement l'axiome qui caracterise l'ensemble vide : en gros, il existe un unique ensemble noté tel que DOnc par contraposé,

[invitec37f3680]

Le probleme c'est que tu melanges des choses qui ne peuvent pas l'etre.

Si la question est : "peut on prendre a peu pres n'importe quoi comme axiome ?" La reponse est "si ca t'amuse tu fais ce que tu veux".

La theorie axiomatique des ensembles est venue pour formaliser et rendre rigoureuses des notions intuitives, elle n'est pas choisie au hasard. Mais elle se manipule tout de meme a un niveau purement logique, sinon ca n'aurait pas d'interet.

Pour cette question reels/rationnels, c'est une question dont la reponse est suffisamment intuitive pour qu'on puisse dire : "heureusement qu'on peut le prouver a partir des axiomes, sinon ca montrerait qu'ils ne sont pas bons".

Pour ta 2e question, la encore ca n'est pas clair. On peut te repondre qu'un ensemble non vide est par definition un ensemble qui contient des elements. Mais quand tu dis "on peut avoir x tel que la proposition 'x appartient a E est vraie'", la encore la phrase "on peut avoir x" n'est pas bien definie. S'il s'agit de savoir qu'il existe, alors oui, par definition formelle, logique, et c'est tout ce dont on a besoin pour faire des maths, il n'y a pas a chercher plus loin. S'il s'agit de savoir si je peux effectivement t'en trouver un pour n'importe quel ensemble que tu pourrais me donner, alors non, je ne peux en general pas l'ecrire.

A la limite, on peut dire que l'axiome qui le permet c'est justement l'axiome qui caracterise l'ensemble vide : en gros, il existe un unique ensemble noté tel que DOnc par contraposé,

ah voila ! Mercii beaucoup ! c'est ce petit malin d'axiome que je cherché ! et je suis passé près de sa contraposé sans m'en rendre compte que c'est celui que je veux ! maintenant ce qui me reste a faire c'est de savoir les resultats qui découle de cet axiome et voir comment il vont changer si je le change ou si je l'enlève carément. je n'ai jamais dit que les mathématiques sont fausses, je cherchais seulement a savoir ce qui les laissent vraies :d !

[invitec37f3680]

je me suis levé de mon lit lol pour répondre lol ! la contraposé de l'axiome de l'ensemble vide ne définit par x !! il parle de son existance c'est tt ! il dit que il existe un x tel que "x appartient a E" est vrai ! je pense qu'on devrait distinguer entre il existe x appartenant a E et Soit x appartenant a E ! la première c'est un test et la deuxième c'est une affectation ( le == et = très connu par les informaticiens ).donc dire il existe x de R tel que x=4, x+1 =5 n'a pas de sens parceque x n'est pas définit ! mais soit x appartenant a R tel que x=4, x+1=5 est correcte . je veux dire par là que l'axiome de l'ensemble vide permet de montrer l'existence d'un certein x mais ne permet pas de le définir ! donc cela est du a un autre axiome ( sauf si j'ai commis une erreur....)

[invite5e34a2b4]

Salut,
Euh, je veux pas dire, mais tu racontes un peu n'importe quoi. Tu peux pas critiquer des choses sans savoir exactement ce qu'elles veulent dire.

"il existe x de R tel que x=4, x+1 =5 n'a pas de sens parceque x n'est pas définit ! mais soit x appartenant a R tel que x=4, x+1=5 est correcte ."

C'est faux : il existe bien x de R tel que x+1=5 : en effet, cet x, c'est 4 : il existe .
Et "soit x de R tel que x+1=5", c'est la même chose que de dire "soit x=4".

L'appartenance, c'est pas un axiome, c'est une définition. Alors, bien sûr, on peut tourner autour du pot en disant qu'on définit des mots à partir d'autres mots qu'on définit à partir d'autres mots, donc au final on ne définit rien du tout. Et pourtant on se comprend ...

[invitec37f3680]

"Euh, je veux pas dire, mais tu racontes un peu n'importe quoi. Tu peux pas critiquer des choses sans savoir exactement ce qu'elles veulent dire."
Veuillez comprendre que je ne dit en aucun cas que les mathématiques sont fausses !

Soit x = 5 c'est une affectation ! ca définit x parfaitement ! mais il existe x telque... c'est un test de verité qui retourne vrai , ca laisse x toujours inconnu, en fait je peux même parler ici de variable muette pour x.

[invitebe0cd90e]

Fildomen, encore une fois on ne fait pas d'informatique ! Ca n'a pas de sens de parler d'affectation, en maths si un truc existe on peut le prendre, point final. Ca n'est pas une consequence des axiomes, c'est un principe de base de logique.

[invitec37f3680]

Fildomen, encore une fois on ne fait pas d'informatique ! Ca n'a pas de sens de parler d'affectation, en maths si un truc existe on peut le prendre, point final. Ca n'est pas une consequence des axiomes, c'est un principe de base de logique.

Je n'ai aucun problème avec ca ! je pense qu'on n'a pas suivi le déroulement du débat !
au début j'ai demandé quel axiome est responsable de l'appartenance, après m'avoir expliqué que l'appartenance est une définition et qu'il faut chercher la définition pour après trouver les axiomes qui la verifie, vous , jobherzt , vous m'avez demandé cki me derange avec l'appartenance ! mathématiquement l'appartenance me dérange pas, mais quand je veux modeliser un ensemble mathématique en informatique l'appartenance pose un très gros problème ( et celui qui s'en doute qu'il se rende aux exemples d'ensembles non indexés que j'avais evoqués un peu la haut) ! vous allez me dire qu'ici on fait pas d'informatique ! je suis d'accord c'est pour ca qu'au début j'avais demander seulement a savoir l'axiome qui rend l'appartenance legitime dans les ensembles mathématiques, après vous m'avez dit que c'est l'axiome de l'ensemble vide qui permet d'avoir un élément d'un ensemble non vide, et la je suis pas d'accord que c'est lui parce que il ne fait que montrer l'existence. donc finalement en mathématiques tout est correcte, j'ai bien compris qu'on manipule des éléments qu'on peut pas avoir en realité comme une fonction de R dans R pas très evidente car pour la definir il faut definir une infinité de point,mais il suffit de dire soit f la fonction discontinue en tout point et voila ! je veux seulement que vous compreniez que les mathématiques sont correctes grace a quelque chose que je cherche c'est tout, cette chose je doit la changer pour eviter des problèmes en informatique, ca c'est ce que j'ai expliqué avant mais vous l'avez mal compris.

[invitebe0cd90e]

Respire ! La ponctuation c'est pas un gadget....

En informatique on ne manipule que des ensembles finis. Pour "donner" un ensemble à un odrinateur il faut l'indexer d'une maniere ou d'une autre, de meme que pour ecrire un ensemble sur une feuille de papier tu choisis au moins un ordre...

Donc non, il n'y a pas de probleme en informatique. En plus la notion d'ensemble en informatique est la version "naive", ou l'appartenance est exactement ce que le commun des mortels entend par la, ca n'a rien a voir avec l'axiomatique ZF.

Enfin ta phrase

vous m'avez dit que c'est l'axiome de l'ensemble vide qui permet d'avoir un élément d'un ensemble non vide, et la je suis pas d'accord que c'est lui parce que il ne fait que montrer l'existence

n'a simplement pas de sens.

[invitec37f3680]

Voila !! donc il faut toujours la présence d'une intelligence pour indexer les ensembles pour l'ordinateur ! et c'est exactement ca que je veux changer ! le traitement d'informations indexées rend l'ordinateur un peu stupide.
Bon je pense que je vais pas parler de mathématiques dans mon document je vais seulement créer de nouvelles définitions pour de nouveaux ensembles c'est tout! et il se peut qu'un axiome se voit inutile mais ca ne fera mal a personne !
Mercii beaucoup pour votre aide ! ca m'a tellement rassuré de savoir que l'appartenance ne pose problème a personne.
.,;.:,;;,.,:;;

[invite57a1e779]

Voila !! donc il faut toujours la présence d'une intelligence pour indexer les ensembles pour l'ordinateur ! et c'est exactement ca que je veux changer ! le traitement d'informations indexées rend l'ordinateur un peu stupide.

Je pense que tu n'as pas vraiment compris ce qu'est une théorie mathématique.

Le dictionnaire te donne la définition d'UNE table. Tu peux vérifier que tel objet particulier en est une, et que tel autre objet n'en est pas une.

Les axiomes de la théorie des groupes te donnent la définition d'UN groupe. Tu peux vérifier que tel objet particulier en est un, et que tel autre objet n'en est pas un.

Les axiomes de la théorie des ensembles te donnent la définition d'UNE relation d'appartenance. Tu peux vérifier que tel objet particulier en est une, et que tel autre objet n'en est pas une.

Mais dire LA table, LE groupe, LA relation d'appartenance n'a aucun sens. Par contre tu peux dire : LA table de ma cuisine, LA table de travail de God's Breath, LE groupe additif des rationnels, LE groupe multiplicatif des complexes de module 1, LA relation d'appartenance définie par M. Machin dans son article «L'appartenance, une vue syntagmatique», in Annales Mathématiques de l'Université de Lilliput, vol. 3 (1998) pp. 157–312, LA relation d'appartenance définie par Mme Truc dans son livre Les modèles quasi-holomorphes de la théorie des classes, Presses Universitaires de Mars, 1976.

Ton ordinateur doit connaître les objets que tu manipules (les ensembles), et les connexions qui existent entre eux (la relation « appartenir à »).
Tu dois donc avoir une table d'index qui te permette de savoir
– si un objet particulier est bien un ensemble ;
– si deux objets particuliers sont connectés par une arête du graphe de la relation « appartenir à ».

Tu peux vérifier que la relation « appartenir à », dont le graphe est connu de ton ordinateur, satisfait aux axiomes de la théorie des ensembles. Si c'est le cas, tu peux léigtimement dire que cette relation est UNE relation d'appartenance.

Tu peux alors utiliser les résultats de la théorie des ensembles pour construire des algorithmes qui manipulent ta relation « appartenir à » plus rapidement et plus simplement qu'une recherche exhaustive dans le graphe de la relation.

Merci à Médiat de corriger toutes les bêtises (autres que les références bibliographiques) dans ce que je viens d'écrire.

[invitebe0cd90e]

Fildomen>

Comme je le dit depuis plusieurs messages, ton erreur vient du flou que tu mets sur le fait de "connaitre" un ensemble. Un ordinateur est potentiellement aussi capable de manipuler des objets mathématiques abstraits et peu explicite qu'un etre humain, pour peu qu'il en connaisse des propriétés et qu'il sache comment les utiliser.

Sauf que toi tu parles du cas particulier ou un ordinateur doit manipuler concretement les elements d'un ensemble. Dans ce cas il a effectivement besoin de les "etiqueter", d'une maniere qui depend fortement du contexte, mais c'est aussi evidemment le cas pour un etre humain !

Un ordinateur et un etre humain ont en commun de ne pouvoir manipuler que des objets qu'ils connaissent, quelle qu'en soit la maniere !

[invitec37f3680]

Merci pour vos explications , pour m.God's Breath est-ce que vous pouvez me donner la définition d'une relation d'appartenance ? parce que je veux créer une nouvelle relation et je veux savoir si je peux l'appelé appartenance ( et ainsi avoir presque toutes les propriétés qu'à celle-ci) , ou je vais l'appelé quelque chose d'autre.
jobherzt> Crois moi je sais ce qu'un ordinateur, il marche ainsi parce que tout les programmes developpés sont de code majoritairement impératif et donc iteratif , c'est clair qu'il faut lui donner de l'information indexé pour qu'il la traite puisque son code meme a lui est indexé ( execution ligne par ligne ) . et quand je vais programmer mon logiciel qui traite les informations non indexé , il est evident que je vais lui passer ces informations indexées, mais je vais les traiter sans utiliser cette indexation. vous allez me dire que tu n'as rien fait de spécial sauf que t'as perdu une information qui est l'hierarchie de tes données. ne vous inquietez pas je vais créer la nouvelle notion d'appartenance pour que les ensembles indexés soient des cas particuliers des ensembles non indexés. cette partie des ensembles non indexés est toute petite devant ce que je veux faire : écrire un langage de programmation majoritairement récursif ! ca veut dire les fonctions sont impératifs liées entre elle par un code recursif. et pour cela je veux que toutes les donnés que les fonctions renvoie soient non indexées, plus précisément je veux que les fonctions soient des éléments d'un ensemble non indexés qui s'appelera le code source du programme.
Ce que je dis parait très compliqué j'avoue , et même du n'importe quoi . mais je crée pas ce langage pour qu'il soit utiliser dans les bureaux ou pour des fins commerciales donc même si le traitement restera limité ( par la puissance des ordinateurs de nos jours) , je veux continuer dans cette voie.
Voila

[invitebe0cd90e]

Tu n'as manifestement pas compris mon dernier message. Ni le message de God's breath, d'ailleurs. Je me demande meme si tu les as lu au dela des 3 premiers mots, en fait.

meme si les ordinateurs n'ont pas encore notre capacité "d'invention", ils sont virtuellement capable de travailler avec exactement les memes objets mathematiques que nous.

Des langages purement recursifs existent deja, et ca n'a a priori rien a voir avec ta question.

Commence par essayer de comprendre de quoi tu parles avant de t'enflammer sur tes futures realisations...

[invitec37f3680]

je lis tout les messages mot par mot et je suis sur que je les ai bien compris ! penser un instant que c'est peut etre vous qui m'a pas bien compris ! je cherche a donner a un ordinateur une image et la definition de tout les object qu'elle contienne et qu'il me dise si ces objets sont présents dans l'image ou pas ! laissez tomber ces ordinateurs virtuels genre " Sois un ordinateur capable ...." ! je veux voir du concret . "Sauf que toi tu parles du cas particulier ou un ordinateur doit manipuler concretement les elements d'un ensemble. Dans ce cas il a effectivement besoin de les "etiqueter", d'une maniere qui depend fortement du contexte" . vous avez admis ce que les ordinateurs d'aujourd'hui nous demandent. je n'admet pas moi qu'on peut pas créer un ordinateur qui n'indexe pas les informations lui même. et dans une partie de mon raisonnement il ya l'appartenance comme on la connait en mathématiques qui cloche, donc je veux la changer, rien que ca

[invite57a1e779]

m.God's Breath est-ce que vous pouvez me donner la définition d'une relation d'appartenance ?

Une relation d'équivalence est une relation qui satisfait 3 axiomes :
1. réflexivité
2. symétrie
3. transitivité
Il y a des tas de relations d'équivalence : congruences dans Z, parallélisme sur l'ensemble des droites d'un espace affine...

Une relation d'ordre est une relation qui satisfait 3 axiomes :
1. réflexivité
2. antisymétrie
3. transitivité
Il y a des tas de relations d'ordre : ordre usuel des réels, ordre lexicographique des entiers de Gauss, divisibilité des entiers naturels...

Tu dois bien comprendre que pour qu'un ordinateur puisse manipuler une relation d'équivalence ou une relation d'ordre, il faut lui dire de laquelle il s'agit.

Pour l'appartenance, c'est la même chose : une relation d'appartenance est une relation qui satisfait les axiomes de Zermelo-Frankel, et il y a des tas de relations d'appartenance.

Il faut donc que tu dises à l'ordinateur quelle est la relation d'appartenance que tu veux manipuler, et sur quels objets elle porte.

J'ai, comme Jobherzt, l'impression que tu ne lis pas vraiment les réponses qui te sont faites.

[invitec37f3680]

"une relation d'appartenance est une relation qui satisfait les axiomes de Zermelo-Frankel" voilà enfin quelque chose d'interressante. je pense que c'est vous qui ne lisez pas mes messages ! parce que dès le début j'ecris seulement est-ce que quelqu'un peut me donner une définition pour l'appartenance et j'ajoute un petit commentaire sur vos posts précédents mais vous repondez qu'autour de ces commentaires . je pense que le mot definition n'est pas le bon ! mais je veux seulement dire par exemple si je vous avez demandé la définition d'une relation d'orde alors votre réponse sera parfaite :
"Une relation d'ordre est une relation qui satisfait 3 axiomes :
1. réflexivité
2. antisymétrie
3. transitivité"

[invitec7c23c92]

ça a déjà été donné depuis un moment :
http://www.dma.ens.fr/culturemath/ma...logique/zf.pdf

Voilà tout ce que doit vérifier l'appartenance.

[Médiat]

Merci à Médiat de corriger toutes les bêtises (autres que les références bibliographiques) dans ce que je viens d'écrire.

Non, tout me va, y compris les références bibliographiques et God knows I'm a pain in the neck .

Deux détails cependant :
1) il ne faudrait pas oublier que l'article de Mme Truc est directement inspiré de l'article fondateur du Professeur Shadok "Les modèles classieux" paru en 1975 au PUPH (Presses Universitaires de Phobos).

2) Le modèle de Ackerman (je n'ai pas les références en tête) où l'appartenance est défini entre deux entiers naturels par la relation : p q ssi le p-ième digit de l'écriture en base 2 de q est 1 ; qui ne vériie pas l'axiome de l'infini bien sur, mais qui est intéressant à manipuler (et facile à programmer).

[Médiat]

"une relation d'appartenance est une relation qui satisfait les axiomes de Zermelo-Frankel" voilà enfin quelque chose d'interressante. je pense que c'est vous qui ne lisez pas mes messages ! parce que dès le début j'ecris seulement est-ce que quelqu'un peut me donner une définition pour l'appartenance

Je crois qu'effectivement tu ne lis pas tous les messages

la théorie axiomatique des ensembles est extrêmement facile à trouver (wikipedia par exemple).

Le minimum de recherche sur wikipédia donne :
http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A..._des_ensembles

[invitec37f3680]

Merci telchar et alovesupreme. Dans l'article il y a tous les axiomes de la théorie ZF comme l'indique le titre "Les axiomes de théorie des ensembles
(Zermelo-Fraenkel)" j'ai cru que vous me renseignez sur la théorie elle même et non les axiomes que doit verifier l'appartenance. donc finalement je comprend qu'une appartenance doit verifier tout ces axiomes.

[Médiat]

les axiomes de Zermelo-Frankel

A pain in the neck que je disais : Zermelo-Fraenkel

[invitec37f3680]

Soit x = 5 c'est une affectation ! ca définit x parfaitement ! mais il existe x telque... c'est un test de verité qui retourne vrai , ca laisse x toujours inconnu, en fait je peux même parler ici de variable muette pour x.

les problèmes avec l'appartenance donc existent depuis longtemps.....

"Cet axiome fait partie des axiomes optionnels et controversés de la théorie des ensembles. En effet, l'existence d'un objet défini à partir de l'axiome du choix n'est pas une existence constructive, c’est-à-dire que l'axiome ne décrit aucunement comment construire l'objet dont on affirme l'existence. Ainsi, dire qu'il existe une base de l'espace vectoriel des fonctions continues ne permet en aucune façon de dire comment décrire une telle base. De ce point de vue, l'axiome du choix peut paraître d'un intérêt limité et c'est pourquoi certains mathématiciens se montrent plus satisfaits d'une démonstration s'ils peuvent éviter d'avoir recours à cet axiome du choix. Mais la plupart des mathématiciens l'utilisent sans réticence particulière.

L'axiome du choix ne fait pas partie du jeu d'axiomes de la théorie des ensembles ZF. On appelle théorie ZFC, la théorie ZF munie en plus de l'axiome du choix."

http://fr.wikipedia.org/wiki/Axiome_du_choix

[invitebe0cd90e]

Tu m'explique le rapport avec ta question ?

Il ne s'agit pas du tout d'appartenance, ici, mais de savoir si certain ensembles existent ou non.

[invitec7c23c92]

L'axiome de choix c'est autre chose.

L'axiome du choix affirme l'existence d'un objet particulier : une fonction de choix, et s'interprète intuitivement comme la possibilité d'effectuer une *infinité* de choix *simultanés* d'élements dans tout un tas d'ensemble.

Ca n'a rien à voir avec la question de choisir *un* x dans un ensemble E.
Si on a un ensemble E non vide, il n'y a aucune difficulté à dire : "Soit x appartenant à E...".

[invitec37f3680]

"il n'y a aucune difficulté à dire : "Soit x appartenant à E..."."
qu'est ce qui fait qu'on a aucune difficulté a dire ca ?

[invitec37f3680]

Tu m'explique le rapport avec ta question ?

Il ne s'agit pas du tout d'appartenance, ici, mais de savoir si certain ensembles existent ou non.

Telchar " L'axiome du choix affirme l'existence d'un objet particulier : une fonction de choix, et s'interprète intuitivement comme la possibilité d'effectuer une *infinité* de choix *simultanés* d'élements dans tout un tas d'ensemble."

si j'arrive a faire un seul choix d'éléments d'un ensemble ( ca veut dire classer tout les éléments de cet ensemble et non pas choisir un seul element) c'est comme si je l'indexe et donc je peux atteindre sans difficulté tout élément de cet ensemble . voilà ce que j'ai compris pour dire que c'est l'axiome du choix qui en est responsable si j'ai bien compris