On sait que étant donnés 2 nombres RATIONNELS a et b (0<a<b) on peut toujours trouver un nombre rationnel x (il y en a même probablement une infinité) tel que:a<x à la puissance 2<b.
Pouvez-vous m'indiquer un algorithme de construction d'un tel nombre RATIONNEL x?
La limite commune des suiteset
Merci beacoup pour la réponse.Je vais vérifier la convergence vers la solution recherchée ce dont je ne doute pas à priori.(Ca me rappelle d'ailleurs des souvenirs anciens).Envoyé par God's Breath
La limite commune des suites
En fait, ça ne marche pas, j'ai pris le problème à l'envers.
On pose
On cherche alors une approximation rationnelle
Une telle approximation est fournie par l'algorithme de Babylone.
Un des termes de la suite
Il suffit de controler, à chaque pas, si
— si c'est le cas
— sinon, on calcule
Bonjour,On pose
Est-ce que la suite
J'ai noté
Ou est-ce que l'algorithme cherché est celui du calcul d'une racine ?
Dernière modification par Médiat ; 16/12/2008 à 10h15.
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Effectivement la premiere solution n'est pas valable puisqu'il s'agit d'une solution rationnelle recherchée.C'est d'ailleurs toute la difficulté sinon le problème est trivial!Mais la deuxième solution (empirique) ne me satisfait pas car la méthode de Babylone proposée (en fait la classique méthode de Newton pour approcher une racine carrée) converge vers un nombre réel non rationnel (sauf cas particulier) et rien ne prouve '(c'est une conjecture) 'qu'il existe un n dans l'ensemble des itérations pour lequel l'itéré correspondant rationnel par construction vérifie la condition voulue.Cela reste à démontrer et si oui alors OK.En fait, ça ne marche pas, j'ai pris le problème à l'envers.
On pose
On cherche alors une approximation rationnelle
Une telle approximation est fournie par l'algorithme de Babylone.
Un des termes de la suite
Il suffit de controler, à chaque pas, si
— si c'est le cas
— sinon, on calcule
La suite proposée par God's Breath tend apparemment vers
On sait alors qu'à partir d'un certain n, on aura par définition de la limite :
(en prenant
à partir d'un certain n, on aura aussi :
(
Si on met tout ça bout à bout, on a :
Finalement, ce qui compte n'est pas que la limite soit rationnelle ou irrationnelle, mais qu'on s'en approche autant qu'on veut via une suite de rationnels, ce qui traduit la densité...
NB : a priori, on pouvait aussi s'en sortir directement avec la première méthode de Gods' Breath, en prenant simplement 1 et
Oui, mais pourquoi s'embêter avec deux suites lorsqu'une seule suffit...
Et puis j'étais parti sur une mauvaise idée : approcher la moyenne géométrique de a et de b, alors qu'il eût fallu approcher la racine carrée de cette moyenne géométrique.
Il est plus simple d'obtenir x comme valeur approchée de la racine carrée de la moyenne arithmétique.
Finalement aprés réflexion et en accord avec la remarque de Accro la méthode de God's Breath me parait tout à fait valable puisque effectivement la convergence de la série nous assure que à partir d'un certain rang n l'approximation rationnelle de racine de m sera comprise entre racine de a et racine de b.Donc merci à tous deux.
Remarquen peut génèraliser sans problème la méthode à la puissance pième de x (p entier qelconque) comprise entre a et b.
Question:je m'interroge sur la possibilité de trouver une construction purement arithmétique de x en faisant en somme semblant d'ignorer la théorie des nombres irrationnels et de la convergence des suites relevant de l'analyse?Tel était en fait mon projet initial.Il est possible que ce soit impossible!
De plus la colère de Dieu ne risque t'elle pas de s'abattre sue celui qui proposera une solution.Mais à mon avis il s'en fout et l'expérience m'a montré qu'il répond rarement au question qu'on lui pose.
