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Arithmétique-analyse



  1. #1
    allez vous

    Arithmétique-analyse


    ------

    On sait que étant donnés 2 nombres RATIONNELS a et b (0<a<b) on peut toujours trouver un nombre rationnel x (il y en a même probablement une infinité) tel que:a<x à la puissance 2<b.
    Pouvez-vous m'indiquer un algorithme de construction d'un tel nombre RATIONNEL x?

    -----

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  3. #2
    God's Breath

    Re : arithmétique-analyse

    La limite commune des suites et définies par leurs premiers termes , et la relation de récurrence .
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  4. #3
    allez vous

    Re : arithmétique-analyse

    Citation Envoyé par God's Breath Voir le message
    La limite commune des suites et définies par leurs premiers termes , et la relation de récurrence .
    Merci beacoup pour la réponse.Je vais vérifier la convergence vers la solution recherchée ce dont je ne doute pas à priori.(Ca me rappelle d'ailleurs des souvenirs anciens).

  5. #4
    God's Breath

    Re : arithmétique-analyse

    En fait, ça ne marche pas, j'ai pris le problème à l'envers.

    On pose et , alors , mais n' aucune raison d'être rationnel.
    On cherche alors une approximation rationnelle de , suffisamment précise que pour que .

    Une telle approximation est fournie par l'algorithme de Babylone.
    Un des termes de la suite définie par son premier terme et la récurrence .
    Il suffit de controler, à chaque pas, si
    — si c'est le cas convient ;
    — sinon, on calcule que l'on teste à son tour.
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    Médiat

    Re : arithmétique-analyse

    Citation Envoyé par God's Breath Voir le message
    On pose et , alors , mais n' aucune raison d'être rationnel.
    Bonjour,

    Est-ce que la suite n'est pas une suite plus simple de rationnels qui tend vers c et donc répond à la question à partir d'un certain n ?

    J'ai noté pour la partie entière de .

    Ou est-ce que l'algorithme cherché est celui du calcul d'une racine ?
    Dernière modification par Médiat ; 16/12/2008 à 09h15.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  8. #6
    allez vous

    Re : arithmétique-analyse

    Citation Envoyé par God's Breath Voir le message
    En fait, ça ne marche pas, j'ai pris le problème à l'envers.

    On pose et , alors , mais n' aucune raison d'être rationnel.
    On cherche alors une approximation rationnelle de , suffisamment précise que pour que .

    Une telle approximation est fournie par l'algorithme de Babylone.
    Un des termes de la suite définie par son premier terme et la récurrence .
    Il suffit de controler, à chaque pas, si
    — si c'est le cas convient ;
    — sinon, on calcule que l'on teste à son tour.
    Effectivement la premiere solution n'est pas valable puisqu'il s'agit d'une solution rationnelle recherchée.C'est d'ailleurs toute la difficulté sinon le problème est trivial!Mais la deuxième solution (empirique) ne me satisfait pas car la méthode de Babylone proposée (en fait la classique méthode de Newton pour approcher une racine carrée) converge vers un nombre réel non rationnel (sauf cas particulier) et rien ne prouve '(c'est une conjecture) 'qu'il existe un n dans l'ensemble des itérations pour lequel l'itéré correspondant rationnel par construction vérifie la condition voulue.Cela reste à démontrer et si oui alors OK.

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  10. #7
    Thorin

    Re : arithmétique-analyse

    Citation Envoyé par allez vous Voir le message
    Effectivement la premiere solution n'est pas valable puisqu'il s'agit d'une solution rationnelle recherchée.C'est d'ailleurs toute la difficulté sinon le problème est trivial!Mais la deuxième solution (empirique) ne me satisfait pas car la méthode de Babylone proposée (en fait la classique méthode de Newton pour approcher une racine carrée) converge vers un nombre réel non rationnel (sauf cas particulier) et rien ne prouve '(c'est une conjecture) 'qu'il existe un n dans l'ensemble des itérations pour lequel l'itéré correspondant rationnel par construction vérifie la condition voulue.Cela reste à démontrer et si oui alors OK.
    La suite proposée par God's Breath tend apparemment vers .
    On sait alors qu'à partir d'un certain n, on aura par définition de la limite :
    .
    (en prenant dans la définition avec les notations usuelles.)
    à partir d'un certain n, on aura aussi :

    ()

    Si on met tout ça bout à bout, on a :
    , ce qui, en élevant au carré, répond au problème.


    Finalement, ce qui compte n'est pas que la limite soit rationnelle ou irrationnelle, mais qu'on s'en approche autant qu'on veut via une suite de rationnels, ce qui traduit la densité...
    Dernière modification par Thorin ; 16/12/2008 à 16h46.
    École d'ingénieurs + M1 Physique Fondamentale

  11. #8
    Thorin

    Re : arithmétique-analyse

    NB : a priori, on pouvait aussi s'en sortir directement avec la première méthode de Gods' Breath, en prenant simplement 1 et comme premiers termes de suites définies...
    École d'ingénieurs + M1 Physique Fondamentale

  12. #9
    God's Breath

    Re : arithmétique-analyse

    Oui, mais pourquoi s'embêter avec deux suites lorsqu'une seule suffit...
    Et puis j'étais parti sur une mauvaise idée : approcher la moyenne géométrique de a et de b, alors qu'il eût fallu approcher la racine carrée de cette moyenne géométrique.
    Il est plus simple d'obtenir x comme valeur approchée de la racine carrée de la moyenne arithmétique.
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  13. #10
    allez vous

    Re : arithmétique-analyse

    Citation Envoyé par God's Breath Voir le message
    Oui, mais pourquoi s'embêter avec deux suites lorsqu'une seule suffit...
    Et puis j'étais parti sur une mauvaise idée : approcher la moyenne géométrique de a et de b, alors qu'il eût fallu approcher la racine carrée de cette moyenne géométrique.
    Il est plus simple d'obtenir x comme valeur approchée de la racine carrée de la moyenne arithmétique.
    Finalement aprés réflexion et en accord avec la remarque de Accro la méthode de God's Breath me parait tout à fait valable puisque effectivement la convergence de la série nous assure que à partir d'un certain rang n l'approximation rationnelle de racine de m sera comprise entre racine de a et racine de b.Donc merci à tous deux.
    Remarquen peut génèraliser sans problème la méthode à la puissance pième de x (p entier qelconque) comprise entre a et b.
    Question:je m'interroge sur la possibilité de trouver une construction purement arithmétique de x en faisant en somme semblant d'ignorer la théorie des nombres irrationnels et de la convergence des suites relevant de l'analyse?Tel était en fait mon projet initial.Il est possible que ce soit impossible!
    De plus la colère de Dieu ne risque t'elle pas de s'abattre sue celui qui proposera une solution.Mais à mon avis il s'en fout et l'expérience m'a montré qu'il répond rarement au question qu'on lui pose.

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