[Géom. diff.] Calculer une différentielle

[Bleyblue]

Bonjour,

S'il existe un géomètre différentiel dans la foule de grands mathématiciens qui fréquentent ce site, je lui demande humblement son aide pour le problème que voici :

Si on me donne M et N sont deux variétés différentiables et :



une application différentiable, je cherche à calculer effectivement la différentielle de f en un point x de M.
J'ai toute une série de développements théoriques dans mon cours, mais lorsqu'il s'agit de la calculer en pratique je suis un peu perplexe ...

Il me faut dabord déterminer l'espace tangeant associé (ou en tout cas un espace vectoriel qui lui est isomorphe) ce qui peut ne pas être facile.

Il semblerait que je doive me servir du résultat que voici :

- Si l'espace topologique M est en particulier un espace vectoriel de dimension n alors j'ai un isomorphisme entre et M, c'est à dire entre et

- Si M est un ouvert (pour la topologie induite) d'un espace vectoriel V (muni d'une topologie) alors j'ai de même un isomorphisme entre et M.
Donc j'ai par exemple que pour toute matrice inversible A de dimension n :

est isomorphe à , GL(n,R) étant un ouvert de Mat(nxn, R).

Cependant si mon espace topologique M ne satisfait aucun de ces deux conditions ?
Je peux par exemple travailler sur la sphère S² qui n'est ni un espace vectoriel ni un ouvert de .

Comment dois-je faire dès lors pour déterminer

Ca m'aiderait beaucoup de savoir déja ça, pour le calcul effectif de la différentiel on verra après

merci !
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[Bleyblue]

Oh mais je viens de me rappeler que l'espace tangeant en un point n'est autre qu'une espace vectoriel de dimension la même que celle de la variété différentielle de départ.

Du coup si je connais la dimension N de la variété M je connais du coup aussi TpM, ce dernier sera en effet isomorphe à

Est-ce que je me trompe ?

merci

[invitea41c27c1]

Du coup si je connais la dimension N de la variété M je connais du coup aussi TpM, ce dernier sera en effet isomorphe à

Est-ce que je me trompe ?

Oui tout à fait, l'espace tangent est isomorphe à , mais il faut faire attention il faut savoir quelle isomorphisme tu met entre ces deux espaces. Par exemple l'espace tangent en un point et l'espace tangent en un point sont tous les deux isomorphes à , mais il n'y a pas forcément une bijection simple entre et .

Dans le cas de vu dans , on peut voir l'espace tangent en comme le sous-espace affine tangent à la sphère (ie l'orthogonal du vecteur sur ).

J'espère avoir été clair. En tout cas moi, j'ai mis 50 ans à comprendre...

[Bleyblue]

Je dois avouer que c'est horriblement dur à assimiler comme matière, mais ça commence tout doucement à venir

Sinon pour ce qui est de l'isomorphisme, en se basant sur la définition de vecteur tangeant sur base de chemins j'ai :



de bijection réciproque :



Et du coup la différentielle se calcule, si je comprend bien, ainsi :



non ?

merci !

[A voir en vidéo sur Futura]