Ms cauchy

invite59250f02 · 20/12/2008, 01h47

bonsoir tt le monde;
bon voila la 2 question d'un exercice:
$U_0$ =a , a>0
Un= $sqrt {2+U_{n-1}}$
j'ai demontré la chose suivante:
$| {U_n -U_{n-1}} | \leq \frac{1}{2 sqrt 2} \ |U_{n-1} - U_{n-2}|$
ensuite on nous demande d'en deduire que $U_n$ est une suite de cauchy.
aprés des deductions j'ai trouvé que $| U_n -U_{n-1} | \leq \frac{1}{(2 sqrt2)^{n-1}} |U_1-U_0 |$
j'ai fixé $\epsilon \geq 0$ , j'ai posé $\epsilon \geq \frac{1}{(2 \sqrt 2)^{n-1}} |U_1-U_0 |$
j'ai fait les calculs et j'ai trouvé $n_\epsilon$ , et puisque maintenant j'ai la condition de cauchy alors j'ai deduit que $U_n$ est une suite de cauchy.
est-ce que cette solution est juste ou non??
merci à vous

invite59250f02 · 20/12/2008, 13h26

bonjour!!!
alors vous en dite quoi???

invite59250f02 · 20/12/2008, 20h39

bonsoir!!!
pas de reponse???

invitea41c27c1 · 20/12/2008, 20h53

Il doit y avoir une faute de frappe à la ligne :

j'ai fixé $\varepsilon >0$ et j'ai posé $\varepsilon \geq ...$

.

Tu fixes epsilon et ensuite tu poses epsilon ??

Et aussi détaille la partie avec le $n_{\varepsilon}$ , sinon on peut pas dire si c'est juste ou pas.

Cordialment

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

invite7ffe9b6a · 20/12/2008, 20h58

non je crois qu'il a dit, je pose epsilon >0 (pas plus grand ou egal)

et je veux epsilon> ....

et il a resolut pour trouver le n enfin c'est mon avis

invite59250f02 · 20/12/2008, 22h52

oui parce que suivant la condition de cauchy qui dit:
$\forall \epsilon >0 , \exists n_\epsilon , \forall p,q \in N<br /> , p>n_\epsilon , q>n_\epsilon \Rightarrow |U_p - U_q |<\epsilon$
voila ce que j'ai essayé de faire

invite59250f02 · 20/12/2008, 23h02

enfin j'ai essayé de trouvé ce $n_\epsilon$ c'est pour cela que j'ai fait $\epsilon > \frac{1}{(2 \sqrt 2\)^{n-1} }\ |U_1-U_0|$

invitea0db811c · 21/12/2008, 00h47

Bonsoir,

Il manque une étape, dire juste que |Un-U(n-1)| peut être rendu aussi petit que l'on veut ne me semble pas être suffisant pour affirmer qu'une suite est de cauchy. En effet si tu prend la suite Vn = 1 + 1/2 + ... + 1/n tu vérifie bien que |Vn - V(n-1)| tend vers zéro mais pourtant Vn n'est pas de cauchy.

Rajoute donc les étapes qui te permettent de dire que Un vérifie bien la définition, à savoir : Pour tout Eps>0, il existe n tel que pour tout p et q strictement positif on ai |U(n+p) - U(n+q)|< Eps.

invite59250f02 · 21/12/2008, 00h57

bonsoir!!
j'ai pas bien compris ce que vous m'avez dit, mais la question posée dans l'exercice était de demontrer l'inégalité précedente et en suite en déduire qu'elle est de cauchy

invitea0db811c · 21/12/2008, 15h52

Et bien le problème, c'est qu'avec le n(eps) que tu calcule et bien tu n'as que la condition |U(n+1) - Un|<eps pour tout n plus grand que n(eps), ce qui ne suffit pas à affirmer que ta suite est bien de cauchy.

Mais la forme de l'inégalité te permet de déduire que ta suite est de cauchy (ça sent l'inégalité triangulaire et le reste d'une série géométrique...).

invite59250f02 · 21/12/2008, 23h18

bonsoir!!!
je n'arrive pas à vous suivre "série géometrique"

invitea0db811c · 22/12/2008, 05h39

Bonsoir (ou bonjour, à cet heure si je ne sais pas trop),

et bien rien ce n'était qu'une légère indication sur une méthode pour montrer que la suite est de cauchy. Mais revenons en à ta démonstration. Je persiste à dire qu'il en manque un bout, c'est à dire que tu n'explique pas Pourquoi à partir de ton inégalité tu peux déduire que Un est de cauchy.

Donc je redemande : ton premier post est-il complet ? Si oui as tu une idée sur quoi faire pour rajouter le bout qui manque ?

invite59250f02 · 22/12/2008, 13h45

bonjour!!
désolé mais je n'est aucune idée; mais je vais réfléchir

invite7ffe9b6a · 22/12/2008, 14h55

Pour montrer que la suite est de cauchy il faut montrer que
$U_{m}-U_{n}| < \epsilon \forall m,n \geq n_{\epsilon}$

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j'ai rédigé une solution mais essaye de la trouver par toi même

invitea0db811c · 22/12/2008, 16h45

Voila c'est à cette preuve que je pensais ^^

Mais comme Antho l'a dit, essaye de trouver par toi même avant de la regarder.

invite59250f02 · 22/12/2008, 17h26

merci bcp pour votre aide , comme vous l'avez dit je vais essayé de faire une solution et aprés je verrais la votre

invite7ffe9b6a · 22/12/2008, 17h36

Je rajoute alors une question pour t'aiguiller.

Montrer que
$\forall m, \, m \geq n, |U_{m}-U_{n}| \leq |U_{0}-U_{1}| \frac{1}{(2\sqrt{2})^{n}} \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{1}{(2\sqrt{2})^{k}}$

**titi07** · 10/01/2009, 23h12

Envoyé par Antho07

$|U_{m}-U_{n}|\leq |U_{0}-U_{1}| \frac{1}{(2\sqrt{2})^{n}} \left( 1+\frac{1}{(2\sqrt{2})} +\ldots+\frac{1}{(2\sqrt{2})^{m-n-1}} \right)$

donc

$|U_{n}-U_{m}| \leq |U_{0}-U_{1}|\frac{1}{(2\sqrt{2})^{n}} \left(1+\frac{1}{2\sqrt{2}}+ \ldots + \frac{1}{(2\sqrt{2})^{m-n-1}}+ \ldots +\frac{1}{(2\sqrt{2})^{+\infty}} \right)=|U_{0}-U_{1}|\frac{1}{(2\sqrt{2})^{n}} \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{1}{(2\sqrt{2})^{k}}$

bonsoir;
pourquoi vous etes passé à l'infini, je veux dire pourquoi vous ne vous etes pas arreté au terme dont la puissance est "m-n-1"????
Merci d'avance..

invite7ffe9b6a · 10/01/2009, 23h19

Pour me débarrasser du m.
La somme devient constante.

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