Fonction convexe derivable majoree sur |r

[invitedf2d4c78]

Bonjour,

une fonction de R-->R : f : deux fois dérivable convexe et majorée sur R est une fonction constante...pourquoi?

Merci
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[invite4ef352d8]

Salut !

une fonction convexe majoré est forcement constante :

elle est majoré, donc il existe A telle que f(x)<A pour tous x.

elle admet des tangeante à droite et à gauche en tous point. soit y=ax+b l'une de ces tangeante, supposons que a soit non nul, alors comme f est convexe elle est au dessus de sa tangeante, on à alors

ax+b<f(x)<A pour tous x... ce qui est impossible, puisque ax+b n'est pas borné. donc a=0 : toute les tangeante de f sont horizontal, donc f est dérivable et de dérivé nul partous.

[inviteaf1870ed]

Ici on dit qu'elle est deux fois dérivable, et convexe donc f" positive, donc f' croissante : f'(x)>=f'(0)
On intègre : f(x)>=f'(0)x+cte et f ne peut être majorée : si f'(0) est négatif on fait tendre x vers -infini si f'(0) est positif x tend vers +infini.
Si f'(0) est nul on prend une valeur où f' est non nulle. Si on n'en trouve pas f est constante.

[invite3240c37d]

L'enoncé reste valable sans faire de supposition sur la dérivabilité de f
Comme est majorée il résulte que a une borne supérieure .
On a :
Il s'ensuit donc ...

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteaf1870ed]

Joli..
Mais on donne la dérivabilité dans l'énonce, c'est pour l'utiliser.

[invitedf2d4c78]

salut,

on pourrait pas utiliser les Acroissement finies ?? en reprenant la méthode de Ksiler qui affirme que les dérivées sont nulles partout on aura:
quelles que soient (x;y) de R f(x)-f(y)=(x-y)f'(c) ===>f(x)=f(y)
on peut utiliser les acroissement F. sur R ? et dans ce cas on utilise pas la dérivée seconde de l'énnocée??

[invite4ef352d8]

Ma méthode n'utilise déja aucune hypothèse de dérivabilité. je montrer que la fonction est dérivable en montrons que sa dérivé à gauche et à droite (qui existe car la fonction est convexe) sont toute les deux nul.

et la methode donné par ericc n'utilise pas le fait que f est deux fois dérivable, mais juste qu'elle est dérivable (pour une fonction f dérivable, f convexe <=> f' est croissante )

[invitedf2d4c78]

re bonsoir
si la fonction est définie sur [a;infini] est ce que ce la reste vrai?? merci