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Formule des residus dans l'espace



  1. #1
    sadben2004

    Formule des residus dans l'espace


    ------

    Bonjour,

    J'ai besoin de calculer :



    L'intégrale porte sur la sphère unité, avec x un point à l'intérieur. et s(y) est l'élément de surface en y.

    Existe il une formule des residus pour la dimension 3 ?
    Par quelle moyen je peux calculer l'intégrale précédent sachant que


    (A priori la réponse doit être !)

    -----
    Science sans consience n'est que ruine de l'âme

  2. #2
    sadben2004

    Re : Formule des residus dans l'espace

    Pour le f donnée la réponse doit être ( 4pi/ 3)* e_z.x
    Science sans consience n'est que ruine de l'âme

  3. #3
    sadben2004

    Re : Formule des residus dans l'espace

    Voici un article qui traite du sujet apparemment mais j'ai du mal a comprendre c quoi le remède dans mon cas :

    http://archive.numdam.org/ARCHIVE/BS..._24__180_1.pdf
    Science sans consience n'est que ruine de l'âme

  4. #4
    Ksilver

    Re : Formule des residus dans l'espace

    Salut !

    alors... oui il existe une formule de cauchy multidimensionelle, mais uniquement pour des poly-disque en dimension complexe n (donc dimension réel 2n...), et de toute facon elle ne ressemble pas du tous au genre d'expressions que tu as.

    pour calculer ce genre de chose, j'irais plutot voir du coté de la formul de stokes (ou plutot d'Ostrogradski dans ton cas).

    mais ce calcule est-il en relation avec un cours ou qqch ?

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    sadben2004

    Re : Formule des residus dans l'espace

    Oui c en lien avec l'electromagnetisme:

    Je veux résoudre :

    div(E) = Laplacien (V) = 0 dans la sphere
    div(E) = Laplacien (V) = 0 en dehors de la sphere
    et [E.n] = [dV/dn] = sigma (charge sufacique, [x] = saut de x )

    Mon sigma n'est pas uniforme c'est :
    soit G est le noyau de green ds


    La solution est G convolué à ''sigma sur la sphere'' ie :


    (l'integrale est sur la sphere)

    Je doit trouver


    (La fonction dans non integrale est singuliere en x, je peux pas utiliser Ostrogradski ?)
    Dernière modification par sadben2004 ; 22/12/2008 à 22h52.
    Science sans consience n'est que ruine de l'âme

  7. #6
    sadben2004

    Re : Formule des residus dans l'espace

    Rq : Les solutions pour E et V sont valable à l'interieur de la sphere.
    Science sans consience n'est que ruine de l'âme

  8. #7
    Ksilver

    Re : Formule des residus dans l'espace

    edit : j'ai parlé trop vite

  9. #8
    Ksilver

    Re : Formule des residus dans l'espace

    en attendant que je trouve une solution (ce qui sera surement pas ce soir parceque je suis fatigué) je répond à ta question :

    oui on peut appliquer stokes/ostrgradski à des choses irégulière, mais il faut utiliser des distributions pour cela... (c'est ce que tu fais quand par exemple tu utilise le théorème de gausse alors qu'il y a des charges ponctuelle ou surfacique... )

  10. #9
    Ksilver

    Re : Formule des residus dans l'espace

    bon j'ai retrouvé aucun argument pour justifier que le champ était constant à l'intérieur de la sphère :S donc à part ce lancé d'un calcule bourin est pas pationant ( tu ecrit ton intégral en fonction de theta et phi et tu calcule...) je vois pas trop quoi faire :S sauf peut-etre de reposer la question sur un forum de physique...

    (à moins que tu es déja résolue en cours des problème comme celui de la boule métalique dans un champ uniforme, ou de la boule uniformement chargé en rotation à vitesse constante, qui donne la meme intégrale...)

  11. #10
    sadben2004

    Re : Formule des residus dans l'espace

    Effectivement, physiquement on peut trouver des chose.

    Par exemple dans la cas ou sigma =constante

    On a par des argument de symétrie :
    - Si x est à l'intérieur, E(x) est dans tout plan qui passe par l'origine=> E(x)=0
    - et donc V= cst = V(0) et on peut calculer V(0) = sigma*R.

    Mais si on veut faire cela mathématiquement :
    Je ne vois pas pourquoi :

    ne dépend pas de x.
    ou que

    J'ai l'impression que le document que j'ai posté plus haut traite de ce genre d'integrales mais je ne le comprend pas (c un doc de 1896 !)
    Science sans consience n'est que ruine de l'âme

  12. #11
    sadben2004

    Re : Formule des residus dans l'espace

    Si x est à l'intérieur, E(x) est dans tout plan qui passe par l'origine=> E(x)=0
    en fait ca implique puis j'applique ortogradsky (ou le th. de gauss en physique) sur une sphere de rayon [ox]

    pour l'integale donnat E, on peut faire le meme raisonnement de symetrie et trouver que est selon e_r. et on termine avec ortogradsky (en ejoutant que E ne depend pas de ou )
    Science sans consience n'est que ruine de l'âme

  13. #12
    sadben2004

    Re : Formule des residus dans l'espace

    Si x est à l'intérieur, E(x) est dans tout plan qui passe par l'origine=> E(x)=0
    en fait ca implique puis j'applique ortogradsky (ou le th. de gauss en physique) sur une sphere de rayon [ox]

    pour l'intégrale donnant E, on peut faire le même raisonnement de symétrie et trouver que est selon , et on termine avec ortogradsky (en ajoutant que E ne dépend pas de ou par invariance)


    Maintenant il faut faire quelque chose de similaire avec la densité non uniforme !!
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