Bonjour,
Pourquoi une σ-algèbre est-elle présentée dans les textes comme une collection et non pas comme un ensemble?
Sur Wolfram est indiqué que "collection" est "généralement" utilisé comme synonyme de "multiset", mais je ne vois pas pourquoi une σ-algèbre serait un "multiset" plutôt qu'un ensemble?
Cordialement,
Hypothèse personnelle : on n'est pas certain de pouvoir trouver une proposition qui assurerait qu'il s'agit bien d'un ensemble, donc rien ne garantit qu'il s'agit bien d'un ensemble (en fait cela permet de se débarasser des intégristes de ZFEnvoyé par Michel (mmy)
).
Je suis d'accord que la notion de multiset n'est pas adaptée, "collection" est sans doute utilisé ici dans le sens de "Classe" (comme dans NBG).
Cordialement.
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
au fait, pourquoi une sigma-algèbre ne serait-elle pas un ensemble? On part d'un ensemble E, l'ensemble des parties de E est bien défini il me semble, et une sigma-algèbre sur E est une partie de P(E), donc un élément de P(P(E)). Il me semble que son existence est garantie par les axiomes classiques de la théorie des ensembles (ou bien?)
Classe, Collection, objet ... existe t'il une analogie avec le langage objet pour lequel : une collection est une classe qui représente un groupe d'objets (instance de classe) connu par ses éléments. Certaines sont ordonnées, d'autres pas ?Hypothèse personnelle : on n'est pas certain de pouvoir trouver une proposition qui assurerait qu'il s'agit bien d'un ensemble, donc rien ne garantit qu'il s'agit bien d'un ensemble (en fait cela permet de se débarasser des intégristes de ZF
Je suis d'accord que la notion de multiset n'est pas adaptée, "collection" est sans doute utilisé ici dans le sens de "Classe" (comme dans NBG).
Cordialement.
Par exemple une liste (LinkedList : liste chainée en Java) est une collection ordonnée. Les listes ont toujours comme premier élément 0.
Ou alors un Set (HashSet en java) est une collection qui n'accepte pas les doublons.
Java contient un grand nombre de collections différentes, toutes adaptées à des situations différentes.
Patrick
Non, justement pour garantir qu'une partie donnée de P(E) soit un ensemble, il faut qu'elle soit définissable par une propriété du premier ordre (axiome de compréhension).
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Est-ce que tu veux dire qu'il existe des éléments de P(P(E)) qui ne sont pas des ensembles ?
Non pas tout à fait, je veux dire que l'axiome des parties assure qu'il existe un ensemble dont les éléments sont exactement les parties (au sens naïf) de cet ensemble qui sont des ensembles.
Dit autrement : l'ensemble des parties au sens de ZF d'un ensemble, n'est pas nécessairement égal à l'ensemble des parties au sens naïf.
Un indice fort pour te convaincre, j'espère : sinon le shéma de compréhension serait une trivialité compliquant les choses pour rien, puisque toutes les parties mêmes non définissables seraient des ensembles.
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Bonjour
Sur tribu
Ils parle bien d'ensemble
Oui. Et la page anglaise correspondante utilise le mot "collection"
La page allemande (plus dur pour moi) parle de structure ou de "Mengensystem", c'est à dire de famille d'ensembles
Pas très cohérent, tout ça!!
Cordialement,
Bonjour,
On retrouve cette meme différence entre wiki francais et anglais pour "espace topologique".
Ca doit etre le meme pb pour les clans, les filtres etc.
C'est une simple question de curiosité?
(ce n'est pas une étape intermédiaire dans une démonstration)
Oui et non. Curiosité, oui, parce que je suis dans ce domaine comme dans bien d'autres un dilettante (qui se délecte), un amateur (qui aime), sans application pratique autre que l'éducation de mes enfants.
Non, parce que je soupçonnais la réponse qu'à donnée Médiat, ce qui me donne un éclairage supplémentaire que ce que recouvre le mot "ensemble".
(Au passage, je pencherais sur l'idée que le Wiki français (la France de Bourbaki...) a tort et le Wiki anglo-saxon a raison quand à la rigueur de l'emploi des mots...)
Cordialement,
Le but d'une théorie axiomatique des ensembles est de produire des affirmations démontrables et de construire de nouveaux ensembles à partir d'ensembles donnés.
Dans le cadre d'une telle théorie on peut se demander si une sigma-algèbre est un ensemble.
Si l'on prend les ensembles au sens naif, parler de l'ensemble des ensembles ne s'appartenant pas à eux memes aboutit à une contradiction
Une théorie des ensembles ne générera pas de telles choses.
Prenons maintenant la définition du wiki francais utilisant le terme d'ensemble au sens naif: une tribu est un ensemble de parties de Omega stable par complémentarité et par union dénombrable.
Ceci peut il aboutir à une contradiction (sans utiliser une théorie axiomatique?)
Il est possible que oui pour certains ensembles Omega et dans ce cas il y aurait plutot une lacune du coté des propriétés des Omégas sur lesquels on peu définir des tribus.
dans les deux cas pourquoi devrait on renoncer au terme d'ensemble?
cela dit, on peut toujours définir une sigma-algèbre comme "un ensemble de parties de E" vérifiant telle et telle propriété. Il me semble que c'est la définition que j'ai toujours connue. Est-ce qu'avec cette définition restrictive on se heurte à des difficultés? En général en théorie de la mesure une tribu est donnée, par exemple comme tribu engendrée par un anneau de parties (comme la tribu borélienne), et ensuite on construit des tribus dérivées. Est-ce que ces constructions peuvent faire sortir du domaine des ensembles de parties "naifs"?
sans un contre-exemple significatif, je dirais qu'on peut se limiter à la notion naïve.
D'où ma proposition du message #2, concernant l'usage du mot collection : cela permet de se débarasser des intégristes de ZF
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Oui mais quand le prochain physicien génial développera la notion et la manipulation des KRAMURZI, il y aura bien un mathématicien tout aussi doué qui en fera la théorie axiomatique générale.
Force sera alors de rebatiser les KRAMURZI en ZBIGNIEW pour ne pas tout confondre.
bonjour à tous,
je reviens sur cette question. J'ai consulté un certain nombre de bouquins, qui tous définissent une tribu comme un "ensemble de parties..." (notamment Dellacherie et Meyer, une référence sérieuse en probas).
par ailleurs, dans "naive set theory" Halmos écrit dès la quatrième phrase: "... we shall say collection instead of set". Collection serait (chez Halmos du moins) un synonyme d'ensemble.
j'ai regardé le Halmos parce que j'ai un peu de mal avec cette idée d'ensembles dont certains éléments ne sont pas des ensembles, mais Halmos n'en parle pas. Je me demande ce qui se passerait si on ajoutait cet axiome: "tout élément d'un ensemble est un ensemble", est-ce que c'est contradictoire avec l'axiome de régularité? (dont je ne perçois non plus pas très bien la nécessité).
Tous les éléments d'un ensemble sont des ensembles. Les ensembles sont les seuls objets de la théorie des ensembles.
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Surtout pas clair au premier abord. Si on parcours wikipédia fr on rencontre tout un ensemble (classe,collection,catégorie ...) de vocabulaire : élément, objet, ensemble, classe, classe propre, collection, catégorie ..
J'en arrive à me poser la question en fait c'est quoi un ensemble ?
Si on s'en tient à la théorie des ensembles ou tout est ensemble (et si on fait exception de l'ensemble vide) les relations d'appartenance et d'inclusion m'apparaissent comme identique. Si x appartient à A alors comme x est un ensemble il est forcement inclus dans A. Donc j'en déduit que tout ensemble est transitif.
Patrick
Ce serait peut-être mieux de garder ces considérations (fausses...) pour l'autre fil, pour qu'on y réponde en détail, non?
Cordialement,
et
une partie de P(E) étant un élément de P(P(E)), c'est-y pas contradictoire?Tous les éléments d'un ensemble sont des ensembles. Les ensembles sont les seuls objets de la théorie des ensembles.
Et non
Dans la phrase précédente, quand tu écris "une partie de P(E)" tu penses vraisemblablement à une partie au sens de la théorie naïve des ensembles, c'est à dire au sens de sous-ensemble, alors que dans l'expression "un élément de P(P(E))" tu parles de la théorie axiomatique des ensembles, il n'y a donc pas contradiction (mais une phrase fausse), puisqu'il y a deux champs différents.
L'axiome de l'ensemble des parties s'écrit :
Comme tu peux le voir z (qui est une partie de x) est un ensemble qui existe et non qui est construit par cette formule (c'est y qui est construit).
C'est à dire que cet axiome ne garantit pas que tous les sous-ensembles (au sens naïf) sont des ensembles, mais seulement que toutes les parties qui sont des ensembles forment un ensemble.
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Et, si je comprends bien, les seules "parties au sens naïves" qui peuvent être, par conséquence des axiomes, des ensembles sont celles constructibles à partir des autres axiomes, dont principalement l'axiome de compréhension.
Si je comprends toujours bien, P(E) contient, en conséquence des axiomes, ce qui est constructible par description exhaustive ou par une propriété du premier ordre, mais il peut contenir des éléments en plus. Mais les axiomes ne permettent pas de parler de ces éléments en plus.
Une question incidente alors : le nombre de propriétés du premier ordre, ainsi que le nombre de descriptions exhaustives, est au plus dénombrable si on se limite à un langage dénombrable pour ZFC, non? Si c'est correct, comment concilier cela avec un cardinal de P(N) non dénombrable?
Serait-ce en disant que les axiomes ne permettent d'atteindre qu'une partie dénombrable de P(N), mais qu'ils permettent en même temps d'affirmer qu'il y en a beaucoup plus?
Enfin, j'imagine que les axiomes ne permettent en aucun cas de parler (par une phrase commençant par "il existe") d'un élément de P(E) non constructible à partir des axiomes. Et ce tout en impliquant une propriété sur les cardinaux qu'une interprétation "naïve" voit comme impliquant l'existence de tels éléments.
Cordialement,
Paradoxe de Skolem : Si ZFC est une théorie consistante elle admet un modèle dénombrable (métalangage), dans lequel on trouve des ensembles non dénombrables (langage du modèle).
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
J'essaye de comprendre...
Si je prend un alphabet fini, et que je code avec cet alphabet toutes les constructions d'ensembles permises par ZFC avec une grammaire qui va bien et qui n'accepte que des phrases finies.
Est-ce que cela est un modèle de ZFC?
Si oui, c'est bien un modèle dénombrable, et il "parle" d'ensembles non dénombrables via la construction P(I), P étant l'ensemble des parties et I le constructeur correspondant à l'axiome de l'infini.
(J'imagine que, là encore, c'est le schéma de compréhension qui pose une difficulté : faut pouvoir encoder toutes les propriétés du premier ordre dans le langage. Mais ça doit être possible, il me semble.)
(Mon problème principal est -toujours et encore- est de comprendre ce qui "a le droit" d'être un modèle...)
Cordialement,
Je m'immisce avec du retard dans cette conversation.
Ne faudrait-il pas écrire «pour garantir qu'une partie donnée de P(E) soit un ensemble, il suffit qu'elle soit définissable par une propriété du premier ordre (axiome de compréhension). » ?
Les axiomes fournissent un critère pour définir de nouveaux ensembles à partir d'ensembles connus, mais rien ne dit que ce soit la seule façon de procéder ; il peut très bien exister des ensembles «inaccessibles» au schéma d'axiome de compréhension.
Erré-je ?
Nous disons, la même chose (tu pourras juger que la différence est pinaillesque), dans le fond (je ré-écris un peu ta formulation pour bien montrer que c'est la même chose :
Médiat : pour garantir qu'une partie donnée de P(E) soit un ensemble, il faut qu'elle soit définissable par une propriété du premier ordre
God's Breath : pour affirmer qu'une partie donnée de P(E) soit un ensemble, il suffit qu'elle soit définissable par une propriété du premier ordre
C'est absolument exact, (sinon, sous réserve de consistance, il y aurait conflit avec le théorème de Löwenheim-Skolem (entre autres)).
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
