Union disjointe, somme amalgamée ?

[invite6de5f0ac]

Bonjour et joyeuses fêtes à tous !

Voilà un bon moment que je ne m'étais pas baladé par ici... Voilà mon problème. Je connais la "réunion disjointe" de deux ensembles A et B, c'est A U B si A inter B est vide (je suis nul en LaTeX), et sinon on ne sait pas trop.

En fait, en notant A W B la réunion disjointe, on doit même pouvoir faire A W A = réunion de deux "copies" disjointes de A. Autrement dit, un ensemble X avec une injection i:A->X et une injection j:A->X telles que i(A) inter j(A) = vide, et la réunion disjointe est alors la réunion classique i(A) U j(A).

Bon, en épluchant un peu le Birkhoff & McLane il m'est revenu qu'en théorie des catégories c'est ce que l'on appelle une somme amalgamée, que l'on note avec un "U carré" (un pi à l'envers). C'est au moins très propre.

Ma question : y a-t-il moyen de faire la même chose sans se prendre la tête, vu que le concept est tout de même très intuitif ? C'est juste pour le confort intellectuel, hein

Merci,

-- françois
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[Médiat]

Ma question : y a-t-il moyen de faire la même chose sans se prendre la tête, vu que le concept est tout de même très intuitif ? C'est juste pour le confort intellectuel, hein

Je ne suis pas sur de comprendre la question, mais tu peux comprendre l'union disjoint de la façon suivante :

A W B = {0} x A U {1} x B

[invite4ef352d8]

Salut !

je ne comprend pas non plus trop ta question :S

en théorie des catégorie on appelle effectivement cela une somme amalgamé, mais la théorie des catégorie ne donne aucun moyen de construire cette somme, et ne garantie pas sons existence, tous ce qu'elle à dit, c'est que si il existe un ensemble M munie de deux injection a,b A->M et B->M telle que pour tous ensemble H munie d'un morphisme a':A->H et b':B->H il existe un unique morphisme p:M->H telle que a'=p°a et b'=p°b. alors celui ci est unique, (à unique isomorphisme comutant avec a et b pres) et qu'on peut donc l'appeller la somme amalgamé.

ensuite c'est un théorème (enfin... c'est un bien grand mot, le résultat est trivial) de théorie des ensemble qui dit "étant donné deux ensemble A et B, alors leur somme amalgamé existe, il s'agit de l'union disjointe qui est donné par la formulle que média à donné dans le post précedant"

[invite6de5f0ac]

Bonjour et merci,

Effectivement, ça crevait tellement les yeux que je ne l'avais pas vu (avec les yeux crevés, ce n'est pas trop étonnant). Comme quoi ce n'était pas la peine de déranger Messieurs MacLane et Birkhoff pour si peu...

Cela dit, la somme amalgamée en théorie des catégories est quelque chose de plus abstrait et plus général ; ça m'aura au moins permis de me rafraîchir la mémoire. Tout ce que dit la théorie des catégories, c'est en effet que, si "une" somme amalgamée existe, elle est essentiellement unique (à isomorphisme naturel près) et que donc on peut l'appeler "la" somme amalgamée. Et comme la construction de Mediat exhibe explicitement un tel objet, c'est bien la somme amalgamée de A et B.

Cordialement,

-- françois

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