Limite de fonction

[invitea50480c6]

Bonjour, je n'arrive pas à trouver les limites suivantes de fonction (elles peuvent ne pas exister):
1. lim sqrt(x)*sin(1/ sqrt(x) en 0+
2. lim x*sin(x) / (1-cos(x)) en 0
3. lim sqrt(x) * E (1/x) en 0+ (E: partie entière^^)

Merci de votre aide
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[invitea50480c6]

J'ai réussi à trouver la 2. en utilisant les fonctions équivalentes: 1-cosx est éq. à x²/2 donc lim x*sin(x) / (1-cos(x)) en 0 vaut 2.

En revanche je n'ai toujours pas trouvé la 1. et la 3...Est ce que quelqu'un aurait une idée ? (dsl je n'ai pas trouvé comment on écrivait racine (x) du coup j'ai écrit sqrt(x) !)

[thepasboss]

Bonjour,

Pour la 1), un sinus étant toujours borné et racine de x tendant vers 0, on a que la première limite tend vers 0.

Pour la 3) je dirais qu'elle tend vers + l'infini mais je n'ai pas vraiment réfléchit à une méthode pour le montrer rigoureusement. Je reposte si je trouve.

[thepasboss]

Trouvé.

x est toujours prit réel positif dans le raisonnement. On a x^(-1/2) - x^(-1/3) qui tend vers + l'infini quand x tend vers 0.

Donc il existe a un réel strictement positif tel que pour tout x<a :

x^(-1/2) - x^(-1/3)>1

et donc pour x<a, il y'a toujours un entier n qui vérifie x^(-1/2) >= n >= x^(-1/3), et donc pour x<a, on a x^(1/2)*E(x^(-1/2)) >= x^(1/2)*x(-1/3). Or le terme de droite tend vers + l'infini pour x tendant vers 0, donc par comparaison la limite recherchée vaut + l'infini.

[A voir en vidéo sur Futura]

[thepasboss]

Euuuuh j'ai écrit n'importe quoi semble-t-il. Je me suis trompé de fonction, mais il me semble que la méthode est correct et est ajustable à ta fonction.

[Flyingsquirrel]

Salut,

3. lim sqrt(x) * E (1/x) en 0+ (E: partie entière^^)

En utilisant la définition de la partie entière on peut facilement montrer que ...

[invitea50480c6]

Salut,

En utilisant la définition de la partie entière on peut facilement montrer que ...

Le problème, c'est que dans mon exercice la limite à étudier se fait en 0+ et non pas en +infini... Vraiment je ne voit pas du tout comment on doit s'y prendre pour la 3...

[Flyingsquirrel]

Le problème, c'est que dans mon exercice la limite à étudier se fait en 0+ et non pas en +infini

Soit mais on peut montrer que en utilisant la définition de la partie entière :

donc

En faisant tendre vers on trouve bien que , comme on l'attendait.


Mon message précédent incitait à composer avec l'équivalent de pour trouver un équivalent de en 0. Après réflexion je crois n'est pas légal.

[invitec317278e]

Si tu veux, tu peux faire le changement de variable t-->1/X dans ta limite, et tu arrives pile sur le bon cas...

[invitec317278e]

Mon message précédent incitait à composer avec l'équivalent de pour trouver un équivalent de en 0. Après réflexion je crois n'est pas légal.

Pourquoi pas ?
Ca demande au pire une ligne d'explication...
tend vers 1 en l'infini....on compose par 1/x dans cette fonction, et on arrive à qui tend vers 1 en 0, d'où l'équivalence cherchée...

[Flyingsquirrel]

Pourquoi pas ?

Je pensais utiliser ceci :

On a et donc, en composant les équivalents, on obtient .

Mais aucune règle ne justifie le passage « en composant les équivalents ». Si l'on souhaite trouver un équivalent de il faut donc revenir à la définition et montrer que tend vers 1 en , comme ça a été fait aux messages #8 et #10.