limite de fonction

[invite5c8c90ae]

bonjour
je dois trouver la limite en 0 pour x>0 et x<0 de la fonction 6sin(x)/x² définie sur ]-pi;0[U]0i[
Je pense avoir trouvé avec le théorème des limites de fonction composées, mais j'arrive à le demontrer de deux façons différentes et dans une seulement je trouve le bon resultat... ( on peut verifier avec la calculatrice...)

Je pense qu'il faut changer la fonction a l'aide des egalités sur les sinus et cosinus. J'obtiens donc 6cos(pi/2-x)/x² ou bien -6cos(pi/2+x)/x².

Mais j'obtiens par exemple pour la limite en 0 avec x>0, soit +∞, soit -∞...
Meme si je sais que le bon resultat est +∞ (d'après la calculatrice), ca me semble bizarre de trouver deux possibilités...

Merci d'avance de votre aide
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[invite5c8c90ae]

Il y a eu un probleme en tapant l'ensemble de definition, donc je remets tout:

bonjour
je dois trouver la limite en 0 pour x>0 et x<0 de la fonction 6sin(x)/x² définie sur ]-pi;0[u]0 ;pi[
Je pense avoir trouvé avec le théorème des limites de fonction composées, mais j'arrive à le demontrer de deux façons différentes et dans une seulement je trouve le bon resultat... ( on peut verifier avec la calculatrice...)

Je pense qu'il faut changer la fonction a l'aide des egalités sur les sinus et cosinus. J'obtiens donc 6cos(pi/2-x)/x² ou bien -6cos(pi/2+x)/x².

Mais j'obtiens par exemple pour la limite en 0 avec x>0, soit +∞, soit -∞...
Meme si je sais que le bon resultat est +∞ (d'après la calculatrice), ca me semble bizarre de trouver deux possibilités...

Merci d'avance de votre aide

[invite1237a629]

Plop !

C'est normal

Tu connais normalement la limite de sin(x)/x quand x tend vers 0, qui est 1.

Tu as donc que lim sin(x)/x²=lim sin(x)/x * 1/x=lim 1/x

Or, tu vois deux cas : x tend vers 0 avec x<0 et x tend vers 0 avec x>0, d'où tes deux résultats

La calculatrice ne fait pas la différence je crois, il faut lui préciser si c'est par valeurs positives ou négatives !

[invite5c8c90ae]

merci de la reponse
J'ai compris que c'est normal de trouver deux resultats, un pour x>0 et l'autre pour x<0.
Mais moi je trouve deux resultats pour x>0 et deux autres pour x<0.
Avec ta methode, qui n'utilise pas les composées, ca marche très bien, sauf que je ne suis pas encore sensé connaitre la limite de sin(x)/x ^^
Donc pour moi la seule solution, c'est les composées... Mais la je trouve plusieurs solutions, et j'ai pas trop envie d'ecrire sur ma copie a mon prof qu'il y a deux resultats mais que un seul est bon et que je sais pas pq ^^

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite1237a629]

Même avec ta méthode (que je trouve astucieuse ^^), je ne vois que 2 solutions :s

Je ne vois pas d'où vient le fait qu'il y ait + ou - 6 cos(machin)

x², que x soit > ou <0 est toujours >0

après, il faut voir le signe de cos(pi/2-x) selon que x est positif ou négatif, c'est là que ça change

[invite5c8c90ae]

Ben je vais essayer d'expliquer mon raisonnement ^^
Prenons par exemple pour x>0
La fonction est egale a 6sin(x)/x² = 6cos(pi/2-x)/x² = -6cos(pi/2+x)/x²
On prend d'abord 6cos(pi/2-x)/x²
lim cos(pi/2-x) = 1 (grace au théorme des fonctions composées)
et lim 6/x² = +∞
donc au total on trouve +∞ (ce qui est bien ce que l'on cherche)
Mais si on prend -6cos(pi/2+x)/x², on trouve -∞
Donc il y a surement une très grosse erreur la dessous que je vois pas !!!

[invite5c8c90ae]

Je viens de refaire mon calcul et je vois que je me suis trompé au niveau de la limite de la fonction composée... Mais maintenant je trouve une FI :S
Je vois pas du tout comment faire...

[invite1237a629]

lim cos(pi/2-x) = 1

= 0+ si x>0 (voir un cercle trigonométrique)
= 0- si x<0

Mais c'est vrai que tu as une forme indéterminée

Sinon, il y a moyen de démontrer que sin(x)/x = 1 lorsque x tend vers 0

(en passant par le nombre dérivée de sin(x) en 0, mais ça se voit en première et je ne sais pas en quelle classe tu es ^^)

[invite5c8c90ae]

oui justement je viens de me rendre compte que c'est tjr une forme indeterminée ac la methode des limites composées ^^, et que la seule solution c'est de demontrer la limite de sin(x)/x quand x tend vers 0.
Je suis en premiere donc normalement ca devrait aller (meme si la je vois pas trop trop comment faire^^)
Merci de ton aide !

[invite1237a629]

Pour "comment faire", il suffit de prendre la définition du nombre dérivé



Que prendrais-tu pour x_0 ?


(je crois que c'est cette formule...suis pas sûre)