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polynome du 3ème degré



  1. #1
    aya15

    Smile polynome du 3ème degré


    ------

    salut tout le monde,
    si vous pouvez m'aidez sur 1 exercice se serait plutôt cool
    Soit l'équation:
    U^3+aU²+bU+c=0 (1)
    ou a, b, c sont trois nombres complexes.
    1.on pose X= U+h. calculer h en fonction de a,b,c pour que l'équation (1) se transforme en une équation réduite:
    X^3+pX+q=0 (2)
    quelles sont les équations de p et q?
    les questions suivantes vont exposer une méthode pour résoudre l'équation (2).
    2.poser X = Y + Z et remplacer X par Y + Z dans l'équation (2).
    A quelle condition (H) le coefficient de Y + Z est-il nul?
    Que devient l'équation (2) si Y + Z vérifie la condition (H)?
    3.Si(Y + Z) est solution du système d'équation:
    {Y^3 +Z^3 + q = 0
    { 3YZ + p = 0
    Montrer que Y + Z est solution de l'équation (2).
    4.montrer que résoudre le système revient à résoudre l'équation:
    T²+qT-p^3/27=0
    en déduire les solutions dy systéme et les racine de l'équation (2).
    5.On supose que pet g sont réels.
    (a)Montrer que si 4p^3+27q²>0. il ya une racine réelle et deux racines complexes conjuguées.
    (b)Montrer que si 4p^3+27q²<0. il ya trois racines réelles.
    (c)Montrer que si 4p^3+27q²=0. il ya une racine réelle et une racine double réelle.
    6. Trouver les racines de
    X^3 - 3X - 1 = 0 et X^3 - X - 1 = 0
    [pour la 1,2,3,4éme question c'est bon mais la 5et 6éme c'est pas bon ]
    merci à tous ce qui me répondent

    -----

  2. #2
    aya15

    Unhappy Re : polynome du 3ème degré

    m'aidez m'aidez (pleaaaaaaaaaase )

  3. #3
    Jeanpaul

    Re : polynome du 3ème degré

    La 5ème question ce n'est jamais que résoudre une équation du second degré en T, tu devrais y arriver !

  4. #4
    aya15

    Re : polynome du 3ème degré

    comment ils ont trouvé eux deltat=4p^3+27q²???

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    Jeanpaul

    Re : polynome du 3ème degré

    delta c'est q² + 4p^3/27, ça a la même signe que ton truc.

  7. #6
    aya15

    Re : polynome du 3ème degré

    c'est bon oublier ce que je vousez demendez maintenent!! lol
    mais qu'ec-qu'ils veulent dir par "il ya une racine réelle et deux racines complexes conjuguées"?

  8. #7
    Jeanpaul

    Re : polynome du 3ème degré

    Une équation polynomiale du 3ème degré a toujours 3 racines complexes, distinctes ou confondues.
    Si les coefficients sont réels, l'étude de la courbe montre qu'il y a forcément une racine réelle car la fonction varie de -infini à + infini.
    Si une autre racine est x, le conjugué de x l'est aussi (because les coefficients réels), mais il peut aussi arriver que x soit réel alors on a 3 racines réelles (2 peuvent être confondues)

  9. #8
    aya15

    Re : polynome du 3ème degré

    ds j'ai essayé de résoudre la question 5 mais sa ne marche pas malheureusment

  10. #9
    aya15

    Re : polynome du 3ème degré

    aucun volontaire??

  11. #10
    Jeanpaul

    Re : polynome du 3ème degré

    Si vraiment tu n'en sors pas, tu regardes sur Wikipedia à "formules de Cardan".
    Mais franchement, est-il si difficile de trouver les racines d'une équation du 2ème degré ? Il y a 3 cas à regarder selon le signe de delta.
    Les 2 solutions T1 et T2 de l'équation en T sont égales l'une à Y^3 et l'autre à Z^3.
    Ensuite la solution de l'équation du 3ème degré est la somme Y+Z.
    On prendra les racines cubiques de T1 et T2, appelons-les c1 et c2.
    Si T1 et T2 sont réels c'est facile. Autrement il faut passer en formule polaire.
    Ensuite les racines de l'équation du 3ème degré seront
    c1 + c2
    j c1 + j² c2
    J² c1 + j c2
    On voit que la somme des 3 racines vaut zéro.

  12. #11
    aya15

    Re : polynome du 3ème degré

    Citation Envoyé par Jeanpaul Voir le message
    Si vraiment tu n'en sors pas, tu regardes sur Wikipedia à "formules de Cardan".
    Mais franchement, est-il si difficile de trouver les racines d'une équation du 2ème degré ? Il y a 3 cas à regarder selon le signe de delta.
    Les 2 solutions T1 et T2 de l'équation en T sont égales l'une à Y^3 et l'autre à Z^3.
    Ensuite la solution de l'équation du 3ème degré est la somme Y+Z.
    On prendra les racines cubiques de T1 et T2, appelons-les c1 et c2.
    Si T1 et T2 sont réels c'est facile. Autrement il faut passer en formule polaire.
    Ensuite les racines de l'équation du 3ème degré seront
    c1 + c2
    j c1 + j² c2
    J² c1 + j c2
    On voit que la somme des 3 racines vaut zéro.
    merci beaucoup!

  13. #12
    aya15

    Red face Re : polynome du 3ème degré

    je suis encore coincer vous voulez bien développe si vous avez 1 peut de temps bien sur

  14. #13
    breukin

    Re : polynome du 3ème degré

    On a vu que Y3 et Z3 sont solutions d'une équation du second degré T2+qT–p3/27=0.
    Mais en outre Y.Z est connu (–p/3).
    Donc si on prend une racine T1 correspondant à Y3, Y peut prendre trois valeurs, les trois racines cubiques de T1.
    Si Y1 est une racine cubique de T1, les deux autres sont j.Y1 et j2.Y1.
    On voit qu'on ne peut choisir impunément n'importe quelle racine cubique de T2 (qui correspond à Z3) : il faut prendre celle qui vérifiera la condition sur Y.Z.

    En fait, pour chacun des trois choix de Y, racine cubique de T1, on doit prendre Z=–p/3Y.

  15. #14
    aya15

    Re : polynome du 3ème degré

    que représent-il "j"??
    vous parlez bien de la premiére condition?

  16. #15
    breukin

    Re : polynome du 3ème degré

    j3=1, avec Im j > 0.
    j est la racine cubique de l'unité de partie imaginaire strictement positive.
    Soit un nombre complexe Z. Si z est une racine cubique de Z (z3=Z), alors les deux autres racines cubiques de Z sont jz et j2z.

  17. #16
    anoman

    Re : polynome du 3ème degré

    Citation Envoyé par aya15 Voir le message
    m'aidez m'aidez (pleaaaaaaaaaase )
    je veux vous aidé

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