polynome du 3ème degré

[invite877e7d21]

salut tout le monde,
si vous pouvez m'aidez sur 1 exercice se serait plutôt cool
Soit l'équation:
U^3+aU²+bU+c=0 (1)
ou a, b, c sont trois nombres complexes.
1.on pose X= U+h. calculer h en fonction de a,b,c pour que l'équation (1) se transforme en une équation réduite:
X^3+pX+q=0 (2)
quelles sont les équations de p et q?
les questions suivantes vont exposer une méthode pour résoudre l'équation (2).
2.poser X = Y + Z et remplacer X par Y + Z dans l'équation (2).
A quelle condition (H) le coefficient de Y + Z est-il nul?
Que devient l'équation (2) si Y + Z vérifie la condition (H)?
3.Si(Y + Z) est solution du système d'équation:
{Y^3 +Z^3 + q = 0
{ 3YZ + p = 0
Montrer que Y + Z est solution de l'équation (2).
4.montrer que résoudre le système revient à résoudre l'équation:
T²+qT-p^3/27=0
en déduire les solutions dy systéme et les racine de l'équation (2).
5.On supose que pet g sont réels.
(a)Montrer que si 4p^3+27q²>0. il ya une racine réelle et deux racines complexes conjuguées.
(b)Montrer que si 4p^3+27q²<0. il ya trois racines réelles.
(c)Montrer que si 4p^3+27q²=0. il ya une racine réelle et une racine double réelle.
6. Trouver les racines de
X^3 - 3X - 1 = 0 et X^3 - X - 1 = 0
[pour la 1,2,3,4éme question c'est bon mais la 5et 6éme c'est pas bon ]
merci à tous ce qui me répondent
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[invite877e7d21]

m'aidez m'aidez (pleaaaaaaaaaase )

[Jeanpaul]

La 5ème question ce n'est jamais que résoudre une équation du second degré en T, tu devrais y arriver !

[invite877e7d21]

comment ils ont trouvé eux deltat=4p^3+27q²???

[A voir en vidéo sur Futura]

[Jeanpaul]

delta c'est q² + 4p^3/27, ça a la même signe que ton truc.

[invite877e7d21]

c'est bon oublier ce que je vousez demendez maintenent!! lol
mais qu'ec-qu'ils veulent dir par "il ya une racine réelle et deux racines complexes conjuguées"?

[Jeanpaul]

Une équation polynomiale du 3ème degré a toujours 3 racines complexes, distinctes ou confondues.
Si les coefficients sont réels, l'étude de la courbe montre qu'il y a forcément une racine réelle car la fonction varie de -infini à + infini.
Si une autre racine est x, le conjugué de x l'est aussi (because les coefficients réels), mais il peut aussi arriver que x soit réel alors on a 3 racines réelles (2 peuvent être confondues)

[invite877e7d21]

ds j'ai essayé de résoudre la question 5 mais sa ne marche pas malheureusment

[invite877e7d21]

aucun volontaire??

[Jeanpaul]

Si vraiment tu n'en sors pas, tu regardes sur Wikipedia à "formules de Cardan".
Mais franchement, est-il si difficile de trouver les racines d'une équation du 2ème degré ? Il y a 3 cas à regarder selon le signe de delta.
Les 2 solutions T1 et T2 de l'équation en T sont égales l'une à Y^3 et l'autre à Z^3.
Ensuite la solution de l'équation du 3ème degré est la somme Y+Z.
On prendra les racines cubiques de T1 et T2, appelons-les c1 et c2.
Si T1 et T2 sont réels c'est facile. Autrement il faut passer en formule polaire.
Ensuite les racines de l'équation du 3ème degré seront
c1 + c2
j c1 + j² c2
J² c1 + j c2
On voit que la somme des 3 racines vaut zéro.

[invite877e7d21]

Si vraiment tu n'en sors pas, tu regardes sur Wikipedia à "formules de Cardan".
Mais franchement, est-il si difficile de trouver les racines d'une équation du 2ème degré ? Il y a 3 cas à regarder selon le signe de delta.
Les 2 solutions T1 et T2 de l'équation en T sont égales l'une à Y^3 et l'autre à Z^3.
Ensuite la solution de l'équation du 3ème degré est la somme Y+Z.
On prendra les racines cubiques de T1 et T2, appelons-les c1 et c2.
Si T1 et T2 sont réels c'est facile. Autrement il faut passer en formule polaire.
Ensuite les racines de l'équation du 3ème degré seront
c1 + c2
j c1 + j² c2
J² c1 + j c2
On voit que la somme des 3 racines vaut zéro.

merci beaucoup!

[invite877e7d21]

je suis encore coincer vous voulez bien développe si vous avez 1 peut de temps bien sur

[breukin]

On a vu que Y³ et Z³ sont solutions d'une équation du second degré T²+qT–p³/27=0.
Mais en outre Y.Z est connu (–p/3).
Donc si on prend une racine T1 correspondant à Y³, Y peut prendre trois valeurs, les trois racines cubiques de T1.
Si Y1 est une racine cubique de T1, les deux autres sont j.Y1 et j².Y1.
On voit qu'on ne peut choisir impunément n'importe quelle racine cubique de T2 (qui correspond à Z³) : il faut prendre celle qui vérifiera la condition sur Y.Z.

En fait, pour chacun des trois choix de Y, racine cubique de T1, on doit prendre Z=–p/3Y.

[invite877e7d21]

que représent-il "j"??
vous parlez bien de la premiére condition?

[breukin]

j³=1, avec Im j > 0.
j est la racine cubique de l'unité de partie imaginaire strictement positive.
Soit un nombre complexe Z. Si z est une racine cubique de Z (z³=Z), alors les deux autres racines cubiques de Z sont jz et j²z.

[invite33105c92]

m'aidez m'aidez (pleaaaaaaaaaase )

je veux vous aidé