formule de Taylor sur cos x

[ichigo01]

salut à tous
voilà, on m'a demandé d'appliquer la formule de Taylor sur la fonction cos x à l'ordre 4 et determiner une valeur approchée de cos(0,1). jusqu'au là c'est simple mais je sais pas comment faire pour majorer l'erreur comise ??
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[invitea3eb043e]

La formule de Taylor ce n'est pas seulement le développement limité avec des infiniment petits, c'est aussi par exemple :
f(x) = f(0) + xf'(0) +x²/2 f"(ux) avec u entre 0 et 1
Ecris cela à l'ordre 5 et tu auras ta majoration car ici c'est une égalité et pas une limite.
C'est une généralisation de la formule des accroissements finis.

[ichigo01]

à l'ordre 5 ça me donner : cos (0,1) = 1 - 0,01/2 + (0,1)^4/4! + °(x^(2n+2))
parce que la derivée 5 ème de (cos x) est égale à 0 ( sin(0) )

[invitea3eb043e]

Attention : la dérivée en question n'est pas en zéro mais en un point entre 0 et x

[A voir en vidéo sur Futura]

[ichigo01]

tu as raison ! bon je prendrai donc une valeur c tel que : cos (0,1) = 1 - 0,01/2 + (0,1)^4/4! + sin(c) * (0,1)^4/4!

[invitea3eb043e]

Tu peux même écrire le terme complémentaire comme la dérivée 6ème et majorer la dérivée 6ème (qui est le cosinus) par 1.

[ichigo01]

ok une dernière chose : et le (0,1)^4/4! reste avec une puissance de 4 ??

[invitea3eb043e]

Ben oui et le terme complémentaire est de l'ordre de la puissance 6 que multiplie un cosinus inconnu mais qu'on peut majorer.