Support d'une distribution

[invitede8302a1]

Bonsoir tout le monde,

Juste une petite question :
Si f est localement intégrable et Tf est sa distribution associée.
Le support de la distribution Tf, est-ce le support de f ?

Merci
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[invite57a1e779]

Si est une fonction test dont le support est disjoint de celui de , que vaut ?

[invitede8302a1]

Elle vaut 0... mais je n'arrive pas à faire le lien avec ma question lol

[invite57a1e779]

Tu sais donc que est nulle sur le complémentaire du support de . Il te reste à montrer que n'est pas nulle sur un ouvert contenant strictement .

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitede8302a1]

Alors je dirais sans aucune certitude (je fatigue lol) :
soit O un ouvert contenant strictement Omega.
si on choisit une fonction test phi telle que son support contient strictement Omega et est contenu dans O, alors Tf(phi) = l'intégrale sur supp(phi)\Omega (ensemble non vide) de f.phi qui est non nulle.

[invite57a1e779]

Oui c'est l'idée, mais il faut être un peu fin pour le choix de : il se peut très bien que soit non nulle, et que son intégrale le soit. Il faudrait par exemple essayer d'assurer que soit de signe constant.

[invitede8302a1]

là je ne vois pas.. mais je te fais confiance et je suppose qu'il existe une telle fonction de test (lol)
on pourrait donc déduire que le plus grand ensemble où Tf est nulle est le complémentaire du support de f donc supp(Tf) = supp(f) ?

[invite57a1e779]

On a effectivement égalité des supports de et de .

Pour le choix de , c'est, comme je l'ai dit, un peu plus délicat.
Tu choisis positive, avec non nulle sur un ouvert non vide. Alors est non nulle parce que la fonction que l'on intègre est positive...
Reste à approcher par une suite de fonctions test, de telle sorte soit de limite non nulle, pour obtenir une fonction test avec .

[invitede8302a1]

En effet, c'est vraiment pas mal comme idée mais fallait y penser lol
merci bcq God's Breath !!