On définit sur G=lR*x lR une loi de composition interne par:
∀x,y,x',y'∈G, (x,y)*(x',y')='(xx',xy'+ y/x')
1- montrer que (G,*) est un groupe non abélien.
2- montrer que R* x {0} , {1} x lR et lQ* x lQ sont des sous-groupes de ( G , * )
3- monterer que pour tout nombre réel K , l'ensemble
Hk ={ (x,K(x-1/x)),xER*}
Je débute avec l'algèbre et cet exercice me pose problème, si quelqu'un pouvait m'éclairer...
Merci d'avance. ^^
Il n'y a a priori aucune difficulté : il suffit de vérifier que les axiomes des groupes sont satisfaits, c'est juste un peu fastidieux.
Sur quoi bloques-tu ?
Au niveau de la deuxième question je ne sais pas trop par ou commencer. :s
bah l'associativité et l'element neutre c la notre blem :'(
pour l'element neutre je debute par quoi STP?
soit tu devines quel est l'élément neutre (la question 2 devrait t'y aider) soit tu poses e=(a,b) et tu écris les équations qui se déduisent de (a,b)(x,y)=(x,y).
oui mais je doit le faire dans les deux sens vue que (G,*) est un groupe non abelien non ou j'ignore la question est je le fait dans un seul sens?
merci bcp :P
Tu commences par déterminer un élément e=(a,b) tel que (a,b)(x,y)=(x,y) pour tout (x,y). Puis tu vérifies que tu as également (x,y)(a,b)=(x,y).
Need p'tit éclaircissement sur la second question...
tu c winter ne te casse pa la tete personne ici va resoudre la 2eme question a moin que se soit un .............. =)
bah, c'est pas si dur que ça. Commencez par montrer que ces sous-ensembles sont stables pour la loi en question.
lR*x{0}
On prend 4x0=0, lR*x{0} non vide
Pour tout x,y,-x',-y'∈ (lR*x{0})²
on a: (x,y)*(x'°,y'°)=(xx'°,xy'° + y/x'°)=(x(1/x'),x(1-y'/x') + y/(1/x'))=(x/x',(x-xy'/x') + yx')
ensuite d'après ce que j'ai compris:
x'=0∈lR* y=/0∈ {0}
x=0∈lR* y'=/0∈ {0}
Donc: (x,y)*(x'°,y'°)=(x/x', x/x') ∈G
(x'°,y'°) élément symétrique a droite de (x',y')
Sachant que: dans la 1ere question j'ai trouvé l'élément symétrique à droite de (x,y) : (1/x, 1- y/x)
Bon voila, mais c'est vraiment d'après ce que j'ai compris, car j'ai pas très bien fait le cour. Need correction. :/
(x,y)*(x'°,y'°)=(xx'°,xy'° + y/x'°)=(x(1/x'),x(-y') + y/(1/x'))=(x/x',-xy' + yx')∈G
Je me suis trompé sur l'élément symétrique à droite de (x,y) c'est plutôt (1/x , -y)
