Exercice points critique (1/2)

[invite7d7810c1]

Bonjour j'ai quelques petites questions concernant les points critiques j'ai un exo :

On a la fonction x+y+x^(2)*y+y^(2)*x

I) Chercher les point critique : je fais les dérivés = 0 je trouve comme points critique les couples : (sqrt(1/3) ; -sqrt(1/3) et (-sqrt(1/3),sqrt(1/3)) d'accord ?

II) Faire la matrice hessienne En général j'ai la matrice suivante

2y 2 Tout * 1/2
2 2x

Bon je remplace x et y par les valeurs d'avant j'ai donc 2 matrices


III) Déterminer la nature des points critique

Pour le 1er couple : (sqrt(1/3);-sqrt(1/3))

sqrt(1/3) 1
1 -sqrt(1/3)

Déterminant = -4/3 déterminant négatif donc ce couple est un point selle

Pour le 2eme couple : résultat identique

IV)Cette fonction admet elle le maximum (le minimum) dans R2 ?


Alors je ne sais pas j'ai envi de dire non vu qu'on a un point selle mais un peu au hasard

V) Argumenter l'existence du maximum de f dans
D={x^2+y^2<=2}

Je ne sais pas non plus

J'ai mis le début de l'exercice résolu ( enfin a vérifier ... ) pour un peu que vous sachiez de quoi je parle.
Je vais mettre les deux dernières questions dans un autre post pour pas ça fasse trop lourd ici
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[invite57a1e779]

Pour la matrice hessienne, ce ne serait pas plutôt ?

On trouve quand même deux points selles, donc pas de minimum (ni de maximum).

Pour la fin, un argument de compacité ?

[invite7d7810c1]

ui tu as raison pour la matrice je me suis trompé !! oui donc point selle j'ai aussi vérifié ( tu supposes que le reste est juste alors pour la méthode et tout ) .

Compacité ? tu parles pour la question 4 ? je ne sais pas ce que c'est :s masi je comprends pas qu'on ai un point selle et apres on parle de maximum alros qu'on trouve aucun point max ou min. Pareil si tu veux bien voir dans mon deuxieme post on parle avec lagrange de points max alors que la on a trouvé que des points selle . Merci

[invite7d7810c1]

ok jcroi capté pour l'histoire des points selle et des extrema en fait c'est parce que la contrainte limite dans un domaine et dans ce deomaine on a l'extrema. Bon je rechercherai sur google alors pour la compacité si c'est bien ca ...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite7ffe9b6a]

ui tu as raison pour la matrice je me suis trompé !! oui donc point selle j'ai aussi vérifié ( tu supposes que le reste est juste alors pour la méthode et tout ) .

Compacité ? tu parles pour la question 4 ? je ne sais pas ce que c'est :s masi je comprends pas qu'on ai un point selle et apres on parle de maximum alros qu'on trouve aucun point max ou min. Pareil si tu veux bien voir dans mon deuxieme post on parle avec lagrange de points max alors que la on a trouvé que des points selle . Merci

La compacité c'était pour la question 5.
Toute fonction continue sur un compact atteint ses bornes.

Les compactes de R^n sont exactement les parties fermés et bornés

Donc il suffit de vérifier que D est fermé et borné pour affirmer l'existence du maximum

[invite7d7810c1]

merci donc je montre que D est fermé et borné je veux pas abusé mais comment ? :s

[invite7ffe9b6a]

D est le disque centré en 0 et de rayon , il est clairement bornée.

Pour montrer qu'il est fermé, soit on montre que le complémentaire est ouvert, soit on essaye de l'ecrire comme image réciproque d'un fermé par une application continue.

En effet, l'image réciproque d'un fermé par une application continue est un fermé.
De même l'image réciproque d'un ouvert par une application continue est un ouvert.

Posons

alors g est continue (c'est une fonction polynomiale)

Remarquons alors que



[0;2] est un fermé de R, g est continue, il s'ensuit que D est fermé.


fermé+bornée de R^n = compacte.

La fonction f que tu étudie dans l'exercice etant continue, elle atteint ses bornes sur tout compacte, en particulier sur D.
La fonction f admet un maximum sur D