Exercices point critique (2/2) Lagrange

[invite7d7810c1]

Suite a la première partie :

Appliquer la méthode des multiplicateur de lagrange pour montrer que la fonction f a au plus 4 points de maximum sur D.

( indication : on peut montrer par exemple ques les points recherchés appartient a l'intersection du cercle x^2+y^2=2 avec deux droites .)

La je cherche lambda en ayant 1+2xy+y^2=Lambda*2x
1+2xy+x^2=lambda*2y

Contrainte x^2+y^2-2=0


Oui heu j'ai un peu de mal a le trouver en gros il faut que j'ai lambda en fonction de x et y la remplacer dans ma contrainte. Ainsi j'ai ma valeur de lambda et je trouve x et y

Dernière question : Trouver ces quatre points et en deduire la valeur max de f sur D


La j'ai du mélanger les 2 questions car dans l'une faut montrer qu'il y a 4 points maximum et dans l'autre les trouver masi j'y arrive pas pourrais je avoir la méthode merci
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[invite57a1e779]

Tu cherches s'il existe tel que , c'est-à-dire si et sont liés, tu as la condition nécessaire et suffisante :
On obtient, après calculs puis, compte tenu de la contrainte , .

Il n'y a plus qu'à résoudre le système

[invite7d7810c1]

je comprends pas mon lambda n'est pas exprimé ici il faudrait que je trouve lambda et que je remplace dans la conditon mais le systeme ne me permet pas de trouver lamdba je vois pas tro ... :s

Moi ce que je fais je prends mes 2 equations je soustrais l'une par rapport a l'autre et j'ai lambda* (2y-2x)+y^2-x^2=0 mais bon la ca devient compliqué car il faut que j'exprime x en fonction de lambda et y en fonction de lambda pour remplacer dans la contrainte c'est comme ca normalement non ? a moins que tu m'as montré comment on fait pour montrer qu'il y a 4 maximum. ca me desespere ... dans la 1ere partie de l'exo on avait des points selle la on demande un maximum de la fonction je ne comprends pas

[invite57a1e779]

Si on ne calcule pas la valeur de , ça n'a pas d'importance, on veut seulement les coordonnées où il peut y a avoir un extremum.

Par contre, il faut assurer que existe. Dans bien des cas, cette existence proviendra d'un calcul effectif de , mais dans d'autres cas, on utilisera un critère théorique d'existence de solution d'une équation ou d'un système d'équations, par exemple avec un déterminant dans ton exercice.

Maintenant, si tu y tiens, tu résouds le système que je te donne en , tu reportes dans ton système initial, et tu calcules . Tu seras bien content, et tu t'apercevras que tu n'as rien à faire de la valeur obtenue.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite7d7810c1]

alors j'ai (1;1) (-1;1) (1;-1) (-1;-1) ce sont mes 4 solutions alors la valeur max de f c'est en (1;1) car en remplacant dans f on trouve la valeur max ben MERCI BEAUCOUP ca fait plaisir faut bien que je comprenne ta méthode et j'arrive a la refaire avec d'autres equations notammant pour lambda moi je pensais qu'il fallait toujours le trouver. Ta méthode m'a l'air plus simple je ferais toujours com ca. En fait on a montré qu'il en existait directement en les calculant pour la question d'avant. Merci encore

[invite7d7810c1]

Tu cherches s'il existe tel que , c'est-à-dire si et sont liés, tu as la condition nécessaire et suffisante :
On obtient, après calculs puis, compte tenu de la contrainte , .

Il n'y a plus qu'à résoudre le système

Je ne comprends pas comment tu passes de

a

car la ligne du haut est egal a 2lambda*x et tu multiplie par x

puis apres tu obtiens

alors que j'ai direct la 1ere ligne de :

Je sais c'est trivial mais ca fait longtemps j'ai plsu touché aux matrices si y a des propriété qui m'échappent ... dsl :s

[invite7d7810c1]

???? une reponse svp

[invite57a1e779]

J'écris tout simplement que le vecteur est colinéaire au vecteur si et seulement si le déterminant de ces vecteurs est nul.

Ce qui m'évite bien d'avoir à discuter si et sont nuls ou non pour écrire une formule explicite de calcul de .

[invite7d7810c1]

dons ce cas on a a=x et b=y et c = 1+2xy+y^2 et d=1+2xy+x^2 et le determinant c'est ad-bc=0 et c'est pas ce qu'il y a plus haut tu as fait ac-bd ici



je comprends pas :s

[invite57a1e779]

dons ce cas on a a=x et b=y et c = 1+2xy+y^2 et d=1+2xy+x^2 et le determinant c'est ad-bc=0 et c'est pas ce qu'il y a plus haut tu as fait ac-bd ici

Oui, c'est ça, et j'ai bien , puisque .

[invite7d7810c1]

quand je faiss ad-bc j'ai
x+2yx^2+x^3-y-2xy^2-y^3 =0 apres tu fais quoi a partir de la ? je dois avoir un peu de mal aujourd'hui ...

[invite57a1e779]

Il faut prendre les termes de symétriques 2 par 2 :

[invite7d7810c1]

wow fallait le voir comme meme au début que tu arriverais a un terme x^2+y^2 qui falciliterait le reste du calcul je je voulais toujours ta méthode mais si je trouve pas une bonne factorisation qui me permet de "facilité" le calcul c'est chaut ben bravo et MERCI