Exo "astucieux" sur puissance de matrice

[inviteb64a2f8e]

Bonsoir à tous !

Voilà on a un exercice à faire pour demain mais la prof a dit que c'était "astucieux" (d'où le l'intitulé du post) et que, comme on vient de commencer les matrices, ce n'était pas grave si on ne trouvait pas. Mais ça m'énerve un peu de ne pas trouver et je voulais savoir si vous pouviez me donner une piste ? Voilà l'énoncé :

Soit A =

Vérifier que . En déduire pour

=> La première partie est facile mais après je ne vois pas comment on peut utiliser ça pour avoir

Faut-il utiliser la formule du binôme et dire que les termes s'annulent à partir du rang ?

Je vous serais reconnaissant de me donner une petite piste, ou une petit coup de pouce.

Merci !
ZimbAbwé.
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[invite57a1e779]

Par division euclidienne des polynômes :

et il reste à déterminer .

[inviteb64a2f8e]

Par division euclidienne des polynômes :

et il reste à déterminer .

Tout d'abord, merci pour votre réponse si rapide.

Mais, qu'est-ce que ? Une fonction ?

[invitec053041c]

Salut,

Moi j'utiliserais le fait que A^n=[(A+I)-I]^n, et d'y appliquer le binôme de Newton (tu n'auras que 3 termes à écrire, vu la nullité de (A+I)^p pour p>=3).

Cordialement,
François

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteb64a2f8e]

Merci de votre réponse François !

Cela paraît en effet plus simple, et on a alors :



C'est ça ?

Merci !

[invite57a1e779]

La relation



est bien la division euclidienne que j'évoquais...

[inviteb64a2f8e]

Ah ok désolé God's Breath je ne connaissais pas la division euclidienne comme cela.

En tout cas, un grand merci à tous les deux !

ZimbAbwé.