calcul d'integral

[invite402e4a5a]

bnjr tt le monde
alors soit a et b réels tq a<b et f est définie de l'interval a,b vers R continue par morceaux.
montrons que :
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[invite402e4a5a]

voila
désolée je suis nulle en latex

[invitec053041c]

Je réécris juste en Latex pour la clarté :

mq

(c'est le lemme de Lebesgue il me semble)

Je te conseille de faire une majoration de cette intégration (f continue par morceaux), qui t'amènera à intégrer du cos(nt), qui fera sortir du 1/n..

[invite402e4a5a]

alors on a
et on ao la valeur absolue de (sin nb -sin na) inf ou égal à 2
ainsi

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite402e4a5a]

et alors??!!

[invite402e4a5a]

qqn peut m'aider??

[inviteddee8d61]

Tu peux dire que comme f est continue par morceaux alors elle est bornée sur le segment [a,b] . Donc il existe M tel que pour tout x appartenant à [a,b] , |f(x)|=<M
donc qqe soit x, qqe soit n , |int f(x)cos(nx)dx| =< int |f(x)cos(nx)| dx
=< M (b-a)
(majoration indépendante de x) donc
sum(int(f(x)cos(nx)) converge normalement
A fortiori elle converge simplement
Donc le terme général tends vers 0

[invitec053041c]

Tu as:



Tu dois donc gérer la valeur absolue avant d'intégrer.. une idée est de considérer:
-soit cos(nt) positive sur [a;b]
-soit négative sur [a,b]
-puis généraliser (grâce aux deux points précédents) à tout segment [c,d] quelconque, qui est une réunion finie de segments où cos garde un signe constant.

[invite57a1e779]

Tdonc qqe soit x, qqe soit n , |int f(x)cos(nx)dx| =< int |f(x)cos(nx)| dx
=< M (b-a)
(majoration indépendante de x) donc
sum(int(f(x)cos(nx)) converge normalement

Il me semble hasardeux d'établir une convergence via une majoration indépendante de ...


Une autre idée :
– on étudie le cas de constante sur un segment ;
– on en déduit le cas de en escalier par la relation de Chasles ;
– on passe au cas général en approchant uniformément la fonction continue par des fonctions en escalier.

[inviteddee8d61]

Il me semble hasardeux d'établir une convergence via une majoration indépendante de ...

Je ne crois pas qu'il y ait quoi que ce soit d'hasardeux, une majoration de la valeur absolue, indépendante de x (et non de n ), donne, par définition de la convergence absolue des séries numériques... une convergence absolue.
Le théorème de la convergence absolue nous dit alors que la serie converge aussi simplement (i.e. sans la valeur absolue).
Puis comme la série converge, alors la suite tends nécessairement vers 0 . ...

[invite57a1e779]

Je ne crois pas qu'il y ait quoi que ce soit d'hasardeux, une majoration de la valeur absolue, indépendante de x (et non de n ), donne, par définition de la convergence absolue des séries numériques... une convergence absolue.

Je considère la série de fonctions constantes .

Du fait que j'ai la majoration indépendante de x, j'en déduis la convergence de ?

Donc j'en déduis que , c'est-à-dire ?

[invite402e4a5a]

je vais résoudre ce problème avec la méthode de God's Breath
vloila ce que j'ai fait..
je me bloque dans la 3 ème étape

[invite402e4a5a]

tu peux m'explique ta 3 ème érape God's Breath??merci

[invite57a1e779]

Puisque est continue sur , il existe une suite de fonctions en escalier qui converge uniformément vers sur .

Tu écris que , et tu majores séparément les deux dernières intégrales.

[invite402e4a5a]

merci God's Breath

[inviteddee8d61]

Je considère la série de fonctions constantes .

Du fait que j'ai la majoration indépendante de x, j'en déduis la convergence de ?

Donc j'en déduis que , c'est-à-dire ?

Il faut que la majoration (indépendante de x) fasse intervenir justement un majorant dont la suite converge...

ce qui n'est pas le cas de M(b-a) je l'avoue