EXERCICE I : Un problème de production agricole.
Cet exercice est tiré du polycopié de cours distribué dans le cours de modélisation en MSG à Dauphine. C’est un problème d’allocations de ressources.
Un agriculteur cherche à déterminer son plan de production. Il a le choix entre 3 cultures : la pomme de terre, le blé et l’orge.
Pour produire ces cultures, il dispose de 3 ressources en quantité limitée :
• la terre (20 ha)
• le travail (2160 heures par an)
• et des ressources financières (capital de 2300 Euros par an)
Un ha de pomme de terre nécessite 240 heures de travail et 230 Euros ; il permet de dégager une marge de 300 Euros.
Un ha de blé nécessite 30 heures de travail et 75 Euros ; il permet de dégager une marge de 200 Euros.
Un ha d’orge nécessite 28 heures de travail et 70 Euros ; il permet de dégager une marge de 185 Euros.
L’agriculteur cherche à maximiser la marge totale en Euros dégagée par son plan de production.
A) Formuler le problème posé, sous forme de programme linéaire.
1) Définir les variables de décision du problème (il faut écrire une définition explicite « littéraire » en précisant l’unité ; éviter la définition X= pomme de terre, car X est un nombre réel …et pas pomme de terre)
2) Ecrire les trois contraintes de ressources et remarquer qu’elles sont linéaires :
voici par exemple celle concernant la disponibilité en heures de travail
240 x + 30 y + 28 z <= 2160
où x, y et z sont les trois variables de décision que vous avez définies.
3) Ecrire la fonction économique (ou objectif) qui est également linéaire : c’est la marge dégagée par le plan de production et définir son unité.
B) Avant d’utiliser le Solveur, préparer la feuille de calculs, en vous inspirant de la feuille de l’exemple résolu précédent et en pensant à mettre des noms à coté des différentes cellules contenant les paramètres du solveur, par exemple :
Pomme de terre Blé Orge
Surface (en ha)
0 0 0
cellules variables
Ces noms se révéleront très utiles pour les interprétations vues dans les questions suivantes.
De même donner des noms aux contraintes (travail,….etc…)
1) Utiliser le Solveur pour obtenir la solution en indiquant bien dans les Options Modèle supposé linéaire et que les variables sont positives, en cochant Supposé non-négatif .
Noter combien il faut faire d’itérations (pour cela dans un premier temps, on peut cocher Afficher le résultat des itérations, option qu’on enlève ensuite pour aller plus vite). On retire ensuite cette option qui fait perdre du temps.
2) Faire afficher le rapport des réponses et le rapport de sensibilité de façon à pouvoir faire une étude post-optimale.
Ces feuilles sont des feuilles Word dont vous pouvez retravailler l’affichage et le format pour que ce soit plus compréhensible et plus esthétique, car Excel n’a pas forcément fait ce que vous auriez voulu.
a) Rapport des réponses :
Quelles sont les contraintes saturées à l’optimum ? Expliquer les colonnes Etat et Marge.
b) Rapport de sensibilité :
Dire si on peut améliorer la valeur de la fonction économique en disposant de plus de terre, ou de travail, ou de capital.
Le coût dual (noté sur la feuille de Sensibilité Ombre Coût permet de quantifier la variation obtenue de la fonction économique si la ressource de la contrainte varie d’une unité).
• Quel est le coût dual d’un ha de terre ? d’une heure de main d’œuvre ?
• Quelle information sur la feuille de sensibilité est en accord avec le fait qu’on ne cultivera pas d’orge ?
c) Production de betterave :
En utilisant les résultats précédents concernant les coûts marginaux (ou coûts duaux), peut-on dire s’il est intéressant de produire de la betterave au détriment des autres productions sachant que la marge par ha est de 230 Euros et qu’un ha de betterave nécessite 300 heures de main d’œuvre et 80 Euros ?
Pour vérifier ce qui aura été trouvé, on pourra créer une nouvelle feuille (copie à partir de la précédente) et insérer une nouvelle variable nombre d’ha de betterave... tout en essayant d’obtenir que les formules s’adaptent avec 4 produits au lieu de 3.
Vérifier la conclusion précédente concernant la culture de betterave en lançant le solveur.
rep à adresse mail supprimée conformément à la charte du forum :
JPL, modérateur
merci vraiment!!!!
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