Vocabulaire : sous-espace vectoriel ???

[invite6de5f0ac]

Bonjour à tous,

J'ai un petit problème de vocabulaire. J'ai un espace vectoriel E de dimension finie sur un corps K, commutatif et de caractéristique zéro (et donc contenant le corps des rationnels Q).

Comment appelle-t-on un "sous-espace" de E qui n'est un espace vectoriel que sur Q et pas sur K tout entier ? Par exemple, si je prends une base (e₁,...,e_n) de E, ce "sous-espace" est l'ensemble des combinaisons linéaires à coefficients dans Q de (e₁,...,e_n). Mais ce n'est pas ce que l'on appelle habituellement un sous-espace !

Alors on dit comment ?

Merci plize !

-- françois
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[invite986312212]

je ne sais pas si cette notion a été nommée. Si tu avais pris Z au lieu de Q je dirais: un réseau.

[invite6de5f0ac]

Merci,

Justement, dans le même boulot j'ai aussi Z au lieu de Q et j'ai toujours appelé ça un réseau. Mais Z n'est qu'un anneau, alors que Q est un corps... Donc mon "sous-espace" (appelons-le E_Q) est bien plus qu'un module sur Z, c'est un "vrai" espace vectoriel. Et j'ai justement besoin d'étudier certaines de ses propriétés pour voir, entre autres, celles qui restent valables sur le réseau E_Z...

Bon, dans l'absolu, s'il n'y a pas de mot pour ça, rien ne m'empêche de définir une notation comme E_Q (c'est d'ailleurs ce que je fais) mais ce serait plus agréable d'avoir une désignation claire (j'aime bien écrire des phrases explicites, plutôt que des formules symboliques).

-- françois

[invitebe0cd90e]

Il ne faut pas perdre de vue qu'en general, parler de sous espace vectoriel (comme parler de morphisme quand on a plusieurs structures) est un abus de langage justifié par le fait que le contexte est clair. En principe, on ne devrait jamais parler d'espace vectoriel mais de k-espace vectoriel. Donc dans ton cas tu peux simplement dire que F est est un sous Q-espace vectoriel de E.

D'une maniere generale, on peut aussi utiliser "en tant que" quand la structure a laquelle on fait reference n'est pas claire : "F est un sous espace de E en tant qu'espace vectoriel sur Q".

[A voir en vidéo sur Futura]