Deux problèmes d'arithmétique

[lezebulon]

Voilà je vais passer les olympiades de math et j'ai regardé vite fait les énoncés des anciennes années... c'ets assez dur je trouve C'est du niveau du concours général pour un 1ere ou c'est quand même plus simple ?

Bref les deux problèmes que je sais pas commencer sont :

1)

Le nombre 60 a pour carré 3600 ; si on enlève les deux derniers chiffres de ce carré, on obtient le nombre 36 qui est lui-même un carré ;
ceci est valable si on remplace 60 par n'importe quel nombre divisible par 10.
Le nombre 31 a pour carré 961 ; si on enlève les deux derniers chiffres de ce carré,
on obtient le nombre 9 qui est lui-même un carré, on peut donc écrire : 31² = 3²x10² + 61.
Trouver tous les nombres entiers non multiples de 10, tels que si on enlève les deux derniers chiffres du carré, on obtient encore un carré.

Là je vois pas DU TOUT comment procéder, en fait le gros problème c'est surtout de pas pouvoir simplifer à 2 inconnues (j'ai pas une formule pour connaitre les 2 derniers chiffres à partir d'un nombre)

L'autre est

Déterminer tous les entiers naturels x, y, z vérifiant l'équation : x + y + z = xyz

Là non plus je sais pas par où commencer, je pense que ça doit marcher sur les nombres parfaits qui ont 2 diviseurs (enfin 4 en comptant 1 et eux même, par ex pour 6 on a le couple (1,2,3) qui marche) mais ça me sert à rien. Pareil en définissant chaque entier comme un produit de facteurs premiers ça complique tout et j'arrive nul part je pense

bref si vous avez des idées merci
-----

[invite4b9cdbca]

pour la deuxième : la plus simple et evidente semble etre le triplet {1;2;3}... mais je ne vois pas trop comment trouver ça de manière demonstrative...

C'est niveau lycée, tout ça, c'est ça ??

[lezebulon]

Oui mais chaque question se fait en une heure normallement si j'ai bien lu le réglement...

[Jeanpaul]

Pour le 1er exo, je n'ai pas tout à fait la solution rigoureuse mais on approche en considérant les nombres de la forme 10n qui conviennent toujours, ceux de la forme 10n+1 qui conviennent quand n<=4, ceux de la forme 10n+2 quand n<=2, ceux du type 10n+3 quand n=1.
Les autres, tels que 10n+6 ne vont pas car quand on soustrait la différence, il va y avoir une factorisation qui ne colle pas.
Je te laisse chercher, après tout les olympiades, ce n'est pas le bac !

[A voir en vidéo sur Futura]

[justine&coria]

Quand t'as un exo comme le 2e, il faut essayer de réduire le "champ" des solutions possibles.

Tu remarques bien (en essayant plusieurs valeurs) que lorsque les 3 nombres sont strictement supérieurs à 1 (supérieurs ou égaux à 2), alors l'équation x+y+z=xyz n'admet plus de solution, parce que xyz est largement supérieur à x+y+z.

Une fois que t'as fait cette remarque, il faut à présent le prouver.

Il faut donc montrer que quand x,y,z sont tous supérieurs ou égaux à 2, xyz-(x+y+z)>0.
Tu vois bien que dans cette expression tu peux soit mettre x, y ou z en facteur dans une partie de l'expression.
Ecris les 3 formes que tu peux avoir, c'est-à-dire x(yz-1)-y-z , y(xz-1)-x-z etc. Et généralement, quand t'as quelque chose comme ça, ce que tu fais c'est que tu dis que xyz-(x+y+z), c'est le tiers de la somme des trois formes précédentes que tu peux avoir (car ces trois formes sont égales).

Il reste plus qu'à remarquer quelque chose (et c'est à toi de la trouver) en n'oubliant pas que x>=2, y>=2, z>=2 et tu montres que quand x,y,z sont tous supérieurs à 2, l'équation n'admet plus de solutions.

c'est donc que x ou y ou z = 1 , et là aussi, je te laisse continuer.

En tout cas, comme je te l'ai dit avant, on a réduit le champ des solutions de façon très significative.

[moijdikssékool]

la réponse à la première question est dans la question: il faut que le chiffre s'écrive a^2*100+b, tq b<100

donc pour tout a et b dans N tel que b<100, les a^2*100+b sont les chiffres cherchés (par construction, ce sont les seuls)

pour la 2), il faut que y+z soit divisible par x, que x+z le soit par y, que x+y le soit par z

y+z = k1.x
x+z = k2.y
x+y = k3.z

avec k1,2,3 dans N

ensuite tu fixes x et tu trouves tes y et z de telle façon qu'ils soient encore dans N

[Jeanpaul]

Pour compléter Justine et Coria : ne pas oublier les possibilités (triviales par ailleurs) x=0 et x=-1

[justine&coria]

c'est donc que x ou y ou z = 1 , et là aussi, je te laisse continuer.

Comme JeanPaul l'a dit, il faut pas oublier la solution triviale (0,0,0).

Par contre, Jeanpaul, on travaille sur les entiers naturels : donc il y a pas de -1 !!