Bonjour, voici mon problème,
Je dois démontrer la propriété suivante:
Soit f et g 2 endomorphismes diagonaux de R^n et qui commutent.
Montrer que tout sous espace propre de f est stable par g.
Merci de m'éclairer sur la méthode, je ne vois vraiment pas comment faire.
Salut,
Qu'est-ce que ça veut dire qu'un espace est stable par g ?
C'est une question test ? ou pour me mettre sur la voie ?
En notant les différents espaces propres sous forme d'espaces vectoriels engendrés par un certain nombre de vecteurs :
c'est-à-dire Vect[e(1),...,e(p)] ,
On veut montrer que pour tout espace propre:
Vect[g(e(1)),...,g(e(p))] est inclus dans Vect[e(1),...,e(p)].
OK, maintenant le deuxième aspect.
Soit x un élément d'un espace propre de f, associé à la valeur propre. Que vaut f(x) ?
À quelle condition y un élément quelconque appartient-il à cet espace propre ?
x appartient à l'espace propre de f associé à la valeur propre lambda ssi f(x)=(lambda)*x.
Quant à la condition sur y j'en vois pas d'autre que la précédente c'est-à-dire f(y)=(lambda)*y,
ou alors y s'écrit comme combinaison linéaire des vecteurs engendrant cet espace propre.
Non, très bien. Pas besoin d'aller chercher plus compliqué, tu as tous les éléments en main.
Si je prends mon élément x, est-ce que g(x) est toujours dans l'espace propre ? Je te rappelle que f et g commutent.
g(x) appartient en effet à l'espace propre :
f(g(x))=g(f(x))=g(lambda*x)=la mbda*g(x).
Ok, merci j'ai compris.
Cela permet bien de conclure,
l'espace vectoriel engendré par (g(x1),...,g(xp)) [si vect(x1,...,xp) est l'espace propre en question], est inclus dans cet espace propre car chaque g(x) appartient à l'espace propre, n'est-ce pas ?
Merci pour ton aide!
Oui, mais tu n'as même pas besoin de recourir à une base car ce que tu as dit marche pour tous les éléments du sous-espace.l'espace vectoriel engendré par (g(x1),...,g(xp)) [si vect(x1,...,xp) est l'espace propre en question], est inclus dans cet espace propre car chaque g(x) appartient à l'espace propre, n'est-ce pas ?
