Démonstration : p | kCp pour k naturel : 1<=k<=p-1

[prgasp77]

Bonjour à tous,
je dois démontrer que pour tout naturel k de [ 1 ; p [
le nombre C^k_p est divisible par p.

Etant donné que C^k_p = p * (p-1)! / [ k! (p-k)! ], j'en déduit que p | C^k_p ssi (p-1)! / [ k! (p-k)! ] est un réel. Mais je bloque à cet endroit, comme le démontrer, récurence (avec deux variables) ? Ou bien avec les propriétés des congruences ? Ou encore par l'absurde (puisque démo par récurence <=> preuve par l'absurde) ?

Merci de me mettre sur la voie (je suis en Terminale S, mais ce qui ressemble a un exercice donné par le prof n'en est en fait pas un, il est alors possible de déborder un peu du programme si vous pensez que ca reste dans mes cordes).
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[inviteca3a9be7]

Bonjour,


p apparaît au numérateur et ne peut être "simplifié" par un facteur du dénominateur car sinon on aurait p = x*y, imp. vu que p est premier

[prgasp77]

p peut etre premier, mais pas forcément.

[doryphore]

On s'aperçoit que k* kCp = p (k-1) C (p-1) donc p divise k * kCp, mais comme k<p, p ne divise pas k et donc d'après le thm de Gauss, p divise kCp.

Voilà, je crois.

[A voir en vidéo sur Futura]

[prgasp77]

En effet, mais falais pas me donner la réponse ! Enfin, merci quand même

[doryphore]

Si tu es désoeuvré, tu n'a qu'à démontrer le théorème de Gauss.