Recherche d'un lieu

[hugox]

Bonjour tout le monde,

J'étais en train de faire des exos sur les lieux quand je suis tombé sur cet énoncé je cite:

"D'un point mobile M sur un cercle GrandC donné de centre C, on trace MP perpendiculaire à un diamètre d fixe. Sur CM on choisit un point Q tel que d(C,Q) = d(P,M). Rechercher et analyser le lieu du point Q."

Donc après avoir réprésenté quelques points sur mon petit brouillon, je m'apercois que ce lieu est une sorte de 8 centré sur C. ce qui est assez logique après réflexion.

J'ai essayé de le résoudre comme suit:

J'introduis un RON d'origine C (0,0) et je trace un cercle de rayon 1 et de centre C pour faciliter un peu le travail. Je prens comme diamètre fixe l'axe des abscisses. Je nomme mon point Q (a,b) sur CM comme dis dans l'énoncé.

J'ai donc l'équation du cercle GrandC= x²+y²-1=0
de là je peux en tirer la distance MP qui vaut en fait y
soit y=+/- rac(1-x²)

je dis que |CQ| = |MP| donc que rac((a-0)²+(b-0)²)=+/-rac(1-x²)
soit rac(a²+b²)=+/-rac(1-x²)
on remplace a=x et b=y
et on obtient L1=2x²+y²-1=0 et L2=y²+1=0
ce qui n'a aucun sens me direz vous! j'ai l'équation d'une ellipse et d'une droite!

si vous pouviez m'éclairez un peu dans mon chemin vers le 8 fatidique et me dire ou mon raisonnement foire completement parce que je vois pas et si une méthode par génératrice serait plus apte??

Merci d'avance

A++

HugoX
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[pallas]

je n'ai pas eu le temps mais à priori il y a des cas limites :si si M est sur le diamètre d P n'existe pas et si CM est perpendiculiare à d alors C est confondu avec M .
l"ensemble recherché est symétrique par rapport aux axes ( il suffit de le chercher sur un quart de cercle) Bon courage

[matthias]

ça a l'air bien compliqué, mais juste quelques précisions pour être sûr:
P est sur le diamètre considéré (donc le projeté orthogonal de M) ?
Q est dans [CM] ou sur (CM) (1 point ou 2 points) ?

[matthias]

Bon, on peut imposer Q dans [CM].
Q = (a;b)
M = (x;y)
Pour la partie y >= 0, y = sqrt(1-x²⁾
vecteur CQ = lambda * vecteur CM avec lambda >= 0
a² + b² = y²
donc lambda = sqrt(1-x²)
donc Q = (x*sqrt(1-x²) ; 1 - x²)
a² = (1-b)b
4a² +(2b-1)² = 1
C'est donc une ellipse.
pouy y<= 0, on a l'ellipse symétrique par rapport au diamètre.

J'espère que j'ai pas dit de bétises ...

[A voir en vidéo sur Futura]

[matthias]

L'ellipse étant même un cercle

[pallas]

Voici l'étude faite :Le point M du cercle a pour coordonnées x= rcos a et y = rsina
( a distinct de 0 et pi)
Le longueur PM ( dans le premier quart de cercle ) est donc de r sin a
Le point Q ( la longueur CQ est de longueur rsina) a pour coordonnées ( cos a fois r sina voir triangle rectangle et sina a fois rsina )
Donc Q a pour coordonnées x=r cosa sina et y = rsina sina d'où en elevant au carré ( ici tout est positif) x²= r²cos²asin²a= r²(1-sin²a)(sin²a) or y= rsin²a d'où
x²= ry -y² soit x²+y²-yr=0 ou x²+(y-r/2)²= r²/4 d'où un arc de cercle etc ... attention y ne peut pas être nul.

[matthias]

content de voir qu'on trouve la même chose, à ceci près que je ne vois aucune raison pour que y ne soit pas nul.
je suis en train de chercher une démo purement géométrique, des idées ?

[hugox]

Re

Merci pour ces "petits" développements, mais je n'arrive pas non plus à comprendre pourquoi y doit etre différent de 0 ca voudrait dire qu'on a un cercle dont le point (0,0) est exclus??. Sinon oui, y est bien compris dans [CM]

[matthias]

J'ai une autre démo, sans calcul.
On appelle I un point du cercle tel que (CI) soit perpendiculaire au diamètre d considéré, et on étudie le lieu de Q quand M appartient au même demi-cerle de diamètre d que I.

on a CQ = MP, CI = CM, et angle ICQ = angle PMC (car (IC) et (PM) parallèles).
donc les triangles PMC et CQI sont semblables.
donc (CQ) et (IQ) sont perpendiculaires
donc Q appartient au cercle de diamètre [CI]