probleme de demonstration des sous anneaux

[invite69d45bb4]

bonjour à tous voila mon probleme dans le cours voici ce qu'ils disent "on appelle sous anneau d'un anneau A toute partie B de A stable par + et x et qui muni des l.c.i induite est encore un anneau avec la meme unité.une partie B d'un anneau A est un sous anneau de A si et seulement si 1A appartient à B.pour tout x et y appartien à B2 x-yappartient à B.et pour tout x et y appartien à B2 xy appartient à B." voici maintenant la demonstration :"soit B un sous anneau de A il contient 1A il est stable par + et contient les opposés de ses elements donc il est stable par - .de plus il est stable par x." ET DONC ce que je ne comprends pas c'est pourquoi on doit dire que B contient les opposés de ses elements et que donc il est stable par -.merci d'avance pour vos reponses.
-----

[invite769a1844]

Bonjour,

ET DONC ce que je ne comprends pas c'est pourquoi on doit dire que B contient les opposés de ses elements et que donc il est stable par -.merci d'avance pour vos reponses.

Comme il est précisé dans ta définition:

on appelle sous anneau d'un anneau A toute partie B de A stable par + et x et qui muni des l.c.i induite est encore un anneau avec la meme unité.

il faut vérifier que ton sous-ensemble B de A muni des lois induites soit un anneau, en particulier que tout élément de B admet un élément opposé dans B.

Par exemple, si tu considères l'anneau des entiers relatifs , est un sous-ensemble qui, muni des lois induites par celles de , vérifient tous les axiomes d'anneau mis à part que seul 0 admet un élément opposé,
donc ce n'est pas un anneau, et ce n'est pas non plus un sous-anneau de .

[invite769a1844]

Les balises tex ne marchent pas, je réécris mon message précédent:


Comme il est précisé dans ta définition, il faut vérifier que ton sous-ensemble B de A muni des lois induites soit un anneau, en particulier que tout élément de B admet un élément opposé dans B.

Par exemple, si tu considères l'anneau des entiers relatifs Z, IN est un sous-ensemble qui, muni des lois induites par celles de Z, vérifient tous les axiomes d'anneau mis à part que seul 0 admet un élément opposé,
donc ce n'est pas un anneau, et ce n'est pas non plus un sous-anneau de Z.

[invite69d45bb4]

pourquoi tu dis " il faut verifier que ton sous ensemble de A muni des lois induites soit un anneau en particulier que tout element de B admet un element opposé dans B".ce ke je vois pas c 'est pourquoi il y aurait un element opposé dans B .lorsque j'ai vu les anneaux il ne me semble pas qu'ils aient parler d'elemnt opposés.et aussi pourquoi utiliser la lci -.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite769a1844]

Un anneau A est un ensemble muni d'une loi additive + et d'une loi multiplicative .
Ces deux lois doivent vérifier certaines propriétés, l'addition doit entre autres vérifier celle-ci:

.

On dit que est l'élément opposé de , et on le note .

Ici, on ne voit pas le symbole - comme une lci.