pi / (sin pi x) en éléments simples ?!?!?

[CM63]

Bonsoir,
Je cherche à développer en éléments simples.
Cette fonction admet les entiers relatifs comme pôles. Ces pôles sont tous de multiplicité 1, puisqu'ils n'annulent pas la dérivée de .
Donc on peut écrire :

La suite dans le prochain post, parce que je galère avec Latex .
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[CM63]

Le résidu en 0 est égal à 1 puisque tend vers 1 quand x tend vers 0.

[CM63]

Comme la fonction est périodique de période 2, tous les coefficients de rang pair sont égaux à 1, comme .
La fonction vérifie également comme propriété :

Donc on peut dire que les coefficients de rang impair sont égaux à -1.
On peut donc écrire que :

[CM63]

La suite demain, car c'est laborieux de traduire mon dialecte de Latex en vrai Latex .
(dialecte de Latex : dans l'outil de formules mathématiques de OpenOffice, qui a quand même le bon goût d'être wysiwyg, on ne peut pas tout avoir ).

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite4ef352d8]

Salut !

je sais pas trop ou tu veux en venir, mais meme si la facon dont tu l'obtiens n'est pas du tous rigoureuse, la formule que tu donne est juste.

[CM63]

Où je veux en venir? Juste démontrer une formule curieuse. Qu'est-ce qui n'est pas rigoureux dans ma démonstration? A part la question de la partie entière, que je n'ai pas su traiter, j'ai tout de suite décrété qu'elle était nulle. Quand on a des polynômes on fait une division euclidienne, mais là on fait comment?
Si je voulais développer , par exemple, qui a les mêmes pôles, dans ce cas la partie entière est-elle nulle?

[CM63]

En prenant , cela donne :

Ou encore :

Et je trouve cette formule assez jolie, je suis content de l'avoir trouvée moi-même . Je vais l'ajouter à la collection des plus belles formules!
J'ai fait un calcul numérique : jusqu'à n=100, la différence entre le résultat direct et celui de la série est inférieure à 10^-6.

[acx01b]

salut

Donc on peut écrire :

ça serait bien que tu détailles cette étape !

[CM63]

Bonjour,
Détailler cette étape? Eh bien si une fonction admet comme pôle de multiplicité 1, on peut l'écrire sous la forme :



Où g n'admet plus comme pôle (si la multiplicité est 2, il faut ajouter un terme en , etc).
J'ai donc fait cela pour tous les pôles : les entiers relatifs, qui sont de multiplicité 1 puisque n'est pas nul (tend vers 1) quand tend vers .

Sauf que j'ai décrété que, ayant "épuisé" tous les pôles, il ne restait plus de fonction g(x), pas de "partie entière". Est-ce que j'ai raison? Comment calcule-t-on la partie entière d'une fonction qui n'est pas un rapport de polynômes ?

[breukin]

Le problème, c'est comment démontrer que ta série de fractions rationnelles correspond bien à l'inverse d'un sinus et non pas à l'inverse d'une autre fonction périodique ressemblant à un sinus (ayant les mêmes pentes aux zéros, et donc conduisant aux mêmes a_i).

[CM63]

En effet. Et je ne vois pas comment faire cette démonstration. En fait, en faisant x=1/2, on trouve une valeur à la série (grâce à une autre démonstration) qui est effectivement ègale à , c'est-à-dire , mais ce n'est pas suffisant, je ne fais que démontrer la formule en un point.

[invitea41c27c1]

Voila une piste pour demontrer ta formule:

On pose et .

On montre que est holomorphe sur .

On considere . On montre que est analytique sur . Pour conclure il faudrait montrer que est bornee (elle deja periodique et il reste a majorer par rapport a la partie imaginaire). On en deduit que est contante.

[CM63]

Merci, Garmet, pour ton aide.
Mais , et en fait , ainsi que , ne sont-elles pas analytiques par définition? Bien sûr pas sur mais sur ?
Ensuite, la différence est évidemment bornée, également sur ?

[invitea41c27c1]

Mais , et en fait , ainsi que , ne sont-elles pas analytiques par définition? Bien sûr pas sur

Certes est analytique sur , mais pour appliquer le theoreme de Liouville il faut montrer que est analytique sur entier

Ensuite, la différence est évidemment bornée

Ah bon?? Peux-tu t'expliquer...

[invite4ef352d8]

Le problème dans ta preuve, c'est que Pi/sin(Pi x) n'est pas une fraction rationelle ^^


si on prend une fonction méromorphe quelconque, on peut comme tu l'as fait faire une somme sur les poles de la fonction. cette somme n'as déja à priori aucune raison de converger (tu pourra méditer sur l'exemple exp(x)/sin(x) par exemple...) . si elle converge "suffisement bien" (par exemple uniformement) la somme est une fonction méromorphe qui aura les meme poles que ta fonction méromorphe de départ et donc la différence des deux se prolongera en une fonction holomorphe sur C : ca peut-etre n'importe qu'elle fonction holomorphe, ce qui est assez vague ^^

ceci dit dans certain cas particulier (comme celui que tu essai de traiter) le théorème de Liouville permet de conclure que cette "partie entière" et un polynome, ou meme une constante...


ici on sait que h est 1-périodique, analytique sur C, si on la majore pour |Im(z)|>C elle sera majorer pour |Im(z)|<C par compacité... (C une constant fixé, par exemple C=1...)

et les majoration pour |Im(z)|>C sont pas difficile à obtenir (exercice facile...)

on obtiens donc assez facilement que h est constante, et pour obtenir h=0 on regarde les limites en l'infinie...



Enfin, ceci dit, si tu veux prouver la formulle que tu énoncé, il est beaucoup plus simple d'utiliser des séries de fourier : par exemple tu peut déveloper en série de fourier la fonction 2Pi périodique valant exp(ax) sur [-Pi,Pi[, en calculant en x=0 ou x=Pi ca devrait donner des choses interessantes...

...ou encore le théorème des résidu appliquer à une intégrale du type 1/((x-a).sin(x)) sur un cercle dont le rayon tend vers l'infini donnerait aussi de bon résultat

[CM63]

Merci pour vos réponses.
Si j'ai bien compris (avec les notations de Garmet), la différence peut très bien être bornée sur alors que les 2 fonctions ne le sont que sur . Ce qui permettrait d'appliquer le théorème de Liouville .
Je vais y réfléchir.
La rapport tend vers 1 aux pôles, encore faudrait-il que la différence soit (bornée donc constante d'après Liouville) nulle? Mais 2 fonctions dont le rapport tend vers 1 , leur différence ne tend pas vers 0 ?

[CM63]

La rapport tend vers 1 aux pôles, encore faudrait-il que la différence soit (bornée donc constante d'après Liouville) nulle? Mais 2 fonctions dont le rapport tend vers 1 , leur différence ne tend pas vers 0 ?

Non, je me trompe, le rapport ne fait que tendre vers 1 quand z tend vers un pôle.

En revanche, je me suis fait une réflexion , quelque chose m'échappe dans le théorème de Liouville : si une fonction est bornée sur , elle est constante. Mais si une fonction n'a pas de pôle sur (et c'est le cas de ), elle est bornée? Donc elle est constante?
Donc toute fonction (holomorphe) qui n'a pas de pôle sur est constante?
A part cela, dans notre cas, encore faudrait-il prouver que est holomorphe sur tout ? J'essaie de prouver qu'elles ont même dérivée, ça va être dûr au voisinage des pôles (de et de ) encore que là les deux fonctions soient justement équivalentes, mais on tourne un peu en rond .
J'essaie de prouver que les deux fonctions ont même dérivée sur , après je ne sais plus quoi faire .

[invite9bc69acf]

Ah ouai quand même.