Bonsoir,
dans mon cours il est dit que les objets d'une catégorie ne sont pas forcément des ensembles, mais plutôt une "classe" ou un "univers".
Je veux bien croire qu'un tel ensemble ne peut exister, mais qu'entend-on par classe ou univers?
Merci pour vos réponses.
Tout dépend du système axiomatique avec lequel tu travailles.
Si on est dans le cadre du système de Zermelo-Fraenkel, alors il n'y a que des ensembles, pas de classe universelle.
Si on travaille dans le système von Neumann-Bernays-Godel, alors il y a des objets qui ne sont pas des ensembles : les classes propres, et en particulier il existe une classe universelle (contient tous les ensembles).
Dans ce système, une classe est un objet quelconque, un ensemble est une classe qui appartient à une autre classe, et une classe propre est une classe qui n'est pas un ensemble.
ok,
si je comprends bien, il faut plutôt se baser sur une théorie des ensembles NGB si l'on fait de la théorie des catégories.
Et la théorie NGB englobe totalement la théorie ZF?r
Oui, pour faire des catégories de façon rigoureuse, on se place dans un systeme du type NBG.
NBG englobe totalement ZF, c'est même plus précisement une extension conservative de ZF, cela signifie que si ZF n'est pas contradictoire, alors NBG n'est pas contradictoire. Donc on a avantage à travailler dans NBG :
- c'est plus general que ZF
- c'est pas plus risqué que ZF
d'accord, merci pour ces informations,
cette remarque me paraît maintenant plus claire.
