décomposition en orbites et en cycles

[invitee75a2d43]

Bonjour, j´ai un exo qui me pose problème, il s´agit de montrer la relation entre la décomposition en orbites d´une ensemble sur lequel opère un groupe et la décompostion d´une permutation en produit de cycles disjoints.

On a une permutation de S_n décomposable en cycles disjoints 2 à 2:
= c₁.c₂....c_l

<> est le groupe engendré par .

On remarque que ce groupe opère évidement sur {1...n} puisqu´on a l´application
f: <> x {1...n}
=

Montrer que les orbites de cette opération sont les supports des cycles c₁, ... c_l.

Je remarque d´abord qu´évidement <> est un groupe fini, plus précisément qu´on peut limiter k à n!.

Ensuite j´écrit: soient i et j éléments de {1...n}, j est dans O(i) ssi


Et après je vois pas....

Si quelqu´un a une idée... merci d´avance

Christophe
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[invitebe0cd90e]

A mon avis, l'idée est que puisque les cycles sont a support disjoint, pour tout element i de (1,..,n) il n'y a au plus qu'un seul cycle qui le modifie.

Donc soit aucun des cycles ne touche a i, et dans ce cas l'orbite de i est reduite a {i}

Soit il existe un cycle c dans sigma qui touche a i. Dans ce cas il est facile de voir que les valeurs successives des images de i sont exactement les elements du support de c. (en effet, si i est dans le support de c, c(i) est evidemment encore dans son support, donc le seul element de sigma qui touche a c(i) est encore c, etc.. et puisque c est un cycle, tous les elements du support sont atteints.)

[invite57a1e779]

Comme les cycles sont à support disjoints, leur produit est commutatif.

Si appartient au support du cycle , on peut écrire , où est le produit des cycles autres que ; ainsi n'appartient à aucun des supports des cycles dont est le produit, et .

Par suite , et l'orbite de par est la même que par , c'est donc le support du cycle .

[invitee75a2d43]

ou la la! Ça c´est brillant! Et d´une simplicité déconcertante. Pourtant j´avais l´impression d´avoir tout essayé, mais pas dans cette direction. Chapeau et merci

[A voir en vidéo sur Futura]