bonjour .
voila ce que je trouve en me servant toujours du même exemple doné par Homotopie.

T3 = b',c' et f soit 1508, 156 et f pair.
b' = 1508 =2pq = k u² - v² ou k (u+v) (u-v)
p = 29 ,q = 26.

comme le triplet donnant T3 est un multiple, je suppose que K = 4
ce qui donne (u+v) (u-v) = 377 ce triplet primitif est donné par u² - v² = x = 377
X se décompose en facteur premiers si bien sur: X n'est pas premier. Auquel cas: u et v serait 1 et 377.

le lien existe bien entre tous ces triplets.

X = 13*29 d'où:
(13+29)/2 = 21 = u
(29 - 13)/2 = 8 = v

X= u² -v² = 377 et (K X) = 1508.
c' = 156 = (k y).

mais c'/4 = 39 donc solution impossible du fait que y pirmitif, devrait être pair. ("Il appartient donc à une autre suite")

il semblerait qu'un début d'explication apparaisse:

le triplet pair, b' c' et f est composé de deux suites de triplets différents

suite A: p - q = 3; donnant T1 avec 29 et 26

tous les triplets de cette suite avec une différence 3 ne peuvent être solution de la question de départ !

Suite B: p' - q' = 37; donnant T4.avec 39 et 2
il en est de même pour les triplets de cette suite avec différence 37 .

suite C = u - v = 13 , donnant T3 avec K, 21 et 8

la raison de cette impossibilité serait que b' appartient à la suite A c'est pour cela que l'on retrouve U - V =13 soit 26/2.
Alors que c' = 156, appartient à la suite B où l'on retrouve:
156/4 = 39 donc il existe K w et h tel que :

39+1 = 40 d'où 40/2 = 20 = W
39-1 = 38 d'où 38/2 =19 = h

suite E = w-h = 1 soit 2/2=1.
où 1 vient du couple q'/2 = 1
tout comme q/2 = 13

or comme trois triplets d'une même suite ne peuvent être solution de la question posée;
du fait que l'on aurait une contradiction par ordre de grandeur tel que: B>c et C>B .
De là, on doit donc obligatoirement choisir les triplets dans trois suites différentes; ce qui donnerait cette impossibilité du fait que deux éléments du triplets pair appartient déjà pour cet exemple à la suite A et B alors que f = K (u² +v²) appartient à la suite C.

Ne connaissant rient aux courbes éliptyques, mais cela reviendrait à dire que le troisiéme point de la courbe C, est réponse a deux courbes différentes A et B..? Ce qui doit être impossible!

en regardant, on s'aperçoit que les trois courbes sont reliées entre elle par les différentes valeurs, ce qui est normale; mais chacune avec leur solution, propre a elle même!

si une solution existait, alors je pense que le théorème de Fermat serait faux! ce n'est qu'une supposition assez forte.

voilà Matthias et Homotopie .
A+