Question sur une application linéaire

[invite01ed04d4]

Bonjour,

Une petite question toute simple!

On me donne une application f de R^3 dans R^3 telle que:

f: x---> 2x+2y+z, x+3y+z, x +2y+2z

On me demande de justifier RAPIDEMENT que f est linéaire.

On montre très facilement que f(x+y)= f(x)+ f(y) et que f(ax)=af(x) mais peut-on le justifier autrement en une phrase??

Et au passage, on me demande de montrer que
Ker(f-Id) + Ker(f-5Id)=R^3

J'ai Ker(f-Id)= Vect {(1,0,-1),(0,1,-2)} et
Ker(f-5Id)={(1,0,0),(0,1,1)}!

J'additionne tout cela directement?

En vous remerciant!
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[invitea6724539]

Premièrement la forme est linéaire car chaque composante coordonnée l'est, en effet il n'y a aucun terme constant du genre +3 ou -5.
Mais ce que tu as montré suffit amplement, c'est exactement ce qui est demandé

Ensuite il faut montrer que c'est une somme DIRECTE, c'est à dire que chaque vecteur (x,y,z) de R^3 se décompose de manière unique en la somme d'un vecteur de Ker(f-Id) et d'un vecteur de Ker(f-5Id). Pour ce faire tu prends (x,y,z) appartenant aux deux sev et tu montres qu'il est en fait le vecteur nul, assez facile à obtenir avec les conditions sur le noyau.
Ensuite tu montres que la somme des dimensions égale la dimension de l'espace.

Et voilà, le tour est joué!

[invite01ed04d4]

la forme est linéaire car chaque composante coordonnée l'est

C'est ce qu'on me demandait, merci bien!

Pour ce faire tu prends (x,y,z) appartenant aux deux sev et tu montres qu'il est en fait le vecteur nul, assez facile à obtenir avec les conditions sur le noyau.

Je saisis un peu moins bien ici!

Je considère les 2 applications: g= f-Id et h: f-5Id,, je somme les deux avec g+h= w et je trouve que que ker w = Vect {0}.

C'est cela...

... ou pas?

[invite01ed04d4]

... si on a bien ker (g+h)= ker(g)+ ker(h)!

[A voir en vidéo sur Futura]